歐拉公式：對(duì)于任意多面體（即各面都是平面多邊形并且沒有洞的立體）,假設(shè)F,E和V分別表示面,棱（或邊）,角（或頂）的個(gè)數(shù),那末
F-E+V=2.
證明 如圖15（圖是立方體,但證明是一般的,是“拓樸”的）：
（1） 把多面體（圖中①）看成表面是薄橡皮的中空立體.
（2） 去掉多面體的一個(gè)面,就可以完全拉開鋪在平面上而得到一個(gè)平面中的直線形,像圖中②的樣子.假設(shè)F′,E′和V′分別表示這個(gè)平面圖形的（簡(jiǎn)單）多邊形、邊和頂點(diǎn)的個(gè)數(shù),我們只須證明F′-E′+V′=1.
（3） 對(duì)于這個(gè)平面圖形,進(jìn)行三角形分割,也就是說,對(duì)于還不是三角形的多邊形陸續(xù)引進(jìn)對(duì)角線,一直到成為一些三角形為止,像圖中③的樣子.每引進(jìn)一條對(duì)角線,F′和E′各增加1,而V′卻不變,所以F′-E′+V′不變.因此當(dāng)完全分割成三角形的時(shí)候,F′-E′+V′的值仍然沒有變.有些三角形有一邊或兩邊在平面圖形的邊界上.
（4） 如果某一個(gè)三角形有一邊在邊界上,例如圖④中的△ABC,去掉這個(gè)三角形的不屬于其他三角形的邊,即AC,這樣也就去掉了△ABC.這樣F′和E′各減去1而V′不變,所以F′-E′+V′也沒有變.
（5） 如果某一個(gè)三角形有二邊在邊界上,例如圖⑤中的△DEF,去掉這個(gè)三角形的不屬于其他三角形的邊,即DF和EF,這樣就去掉△DEF.這樣F′減去1,E′減去2,V′減去1,因此F′-E′+V′仍沒有變.
（6） 這樣繼續(xù)進(jìn)行,直到只剩下一個(gè)三角形為止,像圖中⑥的樣子.這時(shí)F′=1,E′=3,V′=3,因此F′-E′+V′=1-3+3=1.
（7） 因?yàn)樵瓉韴D形是連在一起的,中間引進(jìn)的各種變化也不破壞這事實(shí),因此最后圖形還是連在一起的,所以最后不會(huì)是分散在向外的幾個(gè)三角形,像圖中⑦那樣.
（8） 如果最后是像圖中⑧的樣子,我們可以去掉其中的一個(gè)三角形,也就是去掉1個(gè)三角形,3個(gè)邊和2個(gè)頂點(diǎn).因此F′-E′+V′仍然沒有變.
即F′-E′+V′=1
成立,于是歐拉公式：
F-E+V=2
得證.