1) 已知如題設(shè).
(1) 向量a.向量b=|向量a|| 向量b|*cos.[為便于書寫,以下省去"向量"二字.]
a.b=|a||b|cos60°.
=1*2*(1/2).
∴a.b=1.
(a-2b)^2=a^2-4ab+b^2.
=|a|^2-4|a||b|cos+4|b|^2.
=1-4*1+16.
=13.
|a+3b|^2=(a+3b)^2.
=a^2+6ab+9b^2.
=1+6*1+9*4.
=43.
∴|a+3b|=√43.
(2).證明:ab⊥a (原題是不是這樣?,若是,則題目是錯的,a.b(l 兩個向量的數(shù)量積是標(biāo)量,標(biāo)量與向量無垂直可言!).請更正!
2) 已知向量AB=(1,2),BC=(-3,2),CD=(6,4).
(1) 求證A,B,D三點(diǎn)共線.
欲證A,B,D三點(diǎn)共線,只要證明AD與AB共線即可.
∵AD=AB+BC+CD.
=(1-3+6,2+2+4).
=(4.8).
AD=4(1,2).
AD=4AB.
∴向量AD與向量AB共線,
又 ∵AB與AD有公共點(diǎn)A,∴A,B,D三點(diǎn)共線.
(2) ka+b=k(1,2)+(-3,2).
=(k-3,2k+2).
a-3b=((1,2)-3(-3,2)).
=(1+9,2-6).
=(10,-4).
∵(ka+b)∥(a-3b)
∴ (k-3)*(-4)-(2k+2)*10=0.
-4k+12-20k-20=0.
-24k=8.
∴k=-1/3.----即為所求.
3)已知如題設(shè).
(1) 設(shè)向c的坐標(biāo)為c(x,y).[a=(1,2)]
|c|=√(x^2+y^2)=2√5.
x^2+y^2=20.
∵c∥a,∴ 2x-y=0.
y=2x.
x^2+(2x)^2=20.
5x^2=20.
x^2=4.
x=±2,
y=±4.
∴得向量c的坐標(biāo)為:向量C=(2,4)或C'=(-2,-4).
(2) }b}=√5/2,
∵(a+2b)⊥(2a-b).
∴(a+2b).(2a-b)=0.
2a^2+3ab-2b^2=0.
2*5+3|a||b|cos-2*5/4=0.
10+3√5*√5/2cos-5/2=0.
cos=(5/2-10)/(15/2).
=(-15/2)/(15/2).
cos=-1.
∴=180°
即,在題設(shè)條件下,向量a與向量b反向共.線.