1.
x²+ax+b＜0的解集是1＜x＜3
則x²+ax+b＜0可分解因式為(x-1)(x-3)＜0
展開得x²-4x+3＜0
對照原不等式系數(shù)得a=-4,b=3
2.
設(shè)邊長x的邊的對角為α,邊長3的邊的對角為β,邊長4的邊的對角為γ
該三角形是銳角三角形,則α,β,γ的余弦值都大于0
由余弦定理,有
cosα=(3²+4²-x²)/(2•3•4)=(25-x²)/24＞0
x²＜25
0＜x＜5
cosβ=(x²+4²-3²)/(2•4x)=(x²+7)/8x＞0
x²＞0
x＞0
cosγ=(x²+3²-4²)/(2•3x)=(x²-7)/6x＞0
x²＞7
x＜√7
取三者交集得x的取值范圍√7＜x＜5
3.
設(shè)該二次函數(shù)的解析式為f(x)=ax²+bx+c,a≠0
代入P,Q兩點坐標(biāo)得
f(1)=a+b+c=3
f(0)=c=-8
c=-8代入a+b+c=3得a+b-8=3,得b=11-a
f(x)=ax²+(11-a)x-8
A,D兩點橫坐標(biāo)即方程ax²+(11-a)x-8=0的兩根
設(shè)方程ax²+(11-a)x-8=0的兩根為x1,x2
由韋達(dá)定理,有
x1+x2=(a-11)/a
x1x2=-8/a
|AD|=|x1-x2|=2即(x1-x2)²=4
(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=[(a-11)/a]²-4•(-8)/a=4
兩邊同乘以a²并整理得3a²-10a-121=0
得a=(5+2√97)/3或a=(5-2√97)/3
b=11-(5+2√97)/3=(28-2√97)/3或11-(5-2√97)/3=(28+2√97)/3
該二次函數(shù)的解析是
f(x)=(5+2√97)x²/3+(28-2√97)x/3-8
或
f(x)=(5-2√97)x²/3+(28+2√97)x/3-8