三角形重心是三角形三邊中線的交點(diǎn).
根據(jù)重心的性質(zhì),三邊中線必交于一點(diǎn).
所以作三角形任意兩邊的中線,其交點(diǎn)就是此三角形的重心.
1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1.
證明一
三角形ABC,E、F是AB,AC的中點(diǎn).EC、FB交于G.
證明：過(guò)E作EH平行BF.
∵AE=BE且EH//BF
∴AH=HF=1/2AF（中位線定理）
又∵ AF=CF
∴HF=1/2CF
∴EG=1/2CG（⊿CFG∽⊿CHE）
2、重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等.
證明二
證明方法：
在△ABC內(nèi),三邊為a,b,c,點(diǎn)O是該三角形的重心,AOA1、BOB1、COC1分別為a、b、c邊上的中線根據(jù)重心性質(zhì)知,OA1=1/3AA1,OB1=1/3BB1,OC1=1/3CC1過(guò)O,A分別作a邊上高H1,H可知OH1=1/3AH 則,S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可證S(△AOC)=1/3S(△ABC),S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以,S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)
3、重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離平方的和最小.(等邊三角形）
證明方法：
設(shè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一點(diǎn)為（x,y） 則該點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離平方和為：(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2
=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2
=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
顯然當(dāng)x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐標(biāo)）時(shí)
上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
最終得出結(jié)論.
4、在平面直角坐標(biāo)系中,重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù),
即其坐標(biāo)為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；
空間直角坐標(biāo)系——橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3縱坐標(biāo)：(Y1+Y2+Y3)/3豎坐標(biāo)：（z1+z2+z3）/3
5、三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn).
6、在△ABC中,若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ,則M點(diǎn)為△ABC的重心,反之也成立.
7、設(shè)△ABC重心為G點(diǎn),所在平面有一點(diǎn)O,則向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）
8、相同高三角形面積比為底的比,相同底三角形面積比為高的比.
證明方法：
∵D為BC中點(diǎn),
∴BD=CD,
又∵h(yuǎn)△ABD=h△ACD,h△BOD=h△COD,
∴S△ABD=S△ACD,S△BOD=S△COD,
即S△AOF+S△BOF+S△BOD=S△AOE+S△COE+S△COD,S△BOD=S△COD,
∴S△AOF+S△BOF=S△AOE+S△COE.
同理,
∵E為AC中點(diǎn),
∴S△AOF+S△BOF=S△BOD+S△COD.
∴S△AOE+S△COE=S△BOD+S△COD.
又∵S△BOF/S△BOD+S△COD=OF/OC,S△AOF/S△AOE+S△COE,
即S△BOF=S△AOF.
∴BF=AF,
∴CF為AB邊上的中線,
即三角形的三條中線相交于一點(diǎn).直接用