18世紀(jì),東普魯士的首府哥尼斯堡是一座景色迷人的城市,普萊格爾河橫貫城區(qū),使這
座城市錦上添花,顯得更加風(fēng)光旖旋.這條河有兩條支流,在城中心匯成大河,在河的
中央有一座美麗的小島.河上有七座各具特色的橋把島和河岸連接起來(lái).
每到傍晚,許多人都來(lái)此散步.人們漫步于這七座橋之間,久而久之,就形成了這樣一
個(gè)問(wèn)題：能不能既不重復(fù)又不遺漏地一次相繼走遍這七座橋?這就是聞名遐邇的“哥尼
斯堡七橋問(wèn)題.”每一個(gè)到此游玩或散心的人都想試一試,可是,對(duì)于這一看似簡(jiǎn)單的
問(wèn)題,沒(méi)有一個(gè)人能符合要求地從七座橋上走一遍.這個(gè)問(wèn)題后來(lái)竟變得神乎其神,說(shuō)
是有一支隊(duì)伍,奉命要炸毀這七座橋,并且命令要他們按照七橋問(wèn)題的要求去炸.
七橋問(wèn)題也困擾著哥尼斯堡大學(xué)的學(xué)生們,在屢遭失敗之后,他們給當(dāng)時(shí)著名數(shù)學(xué)家歐
拉寫(xiě)了一封信,請(qǐng)他幫助解決這個(gè)問(wèn)題.
歐拉看完信后,對(duì)這個(gè)問(wèn)題也產(chǎn)生了濃厚的興趣.他想,既然島和半島是橋梁的連接地
點(diǎn),兩岸陸地也是橋梁的連接地點(diǎn),那就不妨把這四處地方縮小成四個(gè)點(diǎn),并且把這七
座橋表示成七條線(xiàn).這樣,原來(lái)的七橋問(wèn)題就抽象概括成了如下的關(guān)系圖：
這顯然并沒(méi)有改變問(wèn)題的本質(zhì)特征.于是,七橋問(wèn)題也就變成了一個(gè)一筆畫(huà)的問(wèn)題,即
：能否筆不離紙,不重復(fù)地一筆畫(huà)完整個(gè)圖形.這竟然與孩子們的一筆畫(huà)游戲聯(lián)系起來(lái)
了.接著,歐拉就對(duì)“一筆畫(huà)”問(wèn)題進(jìn)行了數(shù)學(xué)分析一筆畫(huà)有起點(diǎn)和終點(diǎn),起點(diǎn)和終點(diǎn)
重合的圖形稱(chēng)為封閉圖形,否則便稱(chēng)為開(kāi)放圖形.除起點(diǎn)和終點(diǎn)外,一筆畫(huà)中間可能出
現(xiàn)一些曲線(xiàn)的交點(diǎn).歐拉注意到,只有當(dāng)筆沿著一條弧線(xiàn)到達(dá)交點(diǎn)后,又能沿著另一條
弧線(xiàn)離開(kāi),也就是交匯于這些點(diǎn)的弧線(xiàn)成雙成對(duì)時(shí),一筆畫(huà)才能完成,這樣的交點(diǎn)就稱(chēng)
為“偶點(diǎn)”.如果交匯于這些點(diǎn)的弧線(xiàn)不是成雙成對(duì),也就是有奇數(shù)條,則一筆畫(huà)就不
能實(shí)現(xiàn),這樣的點(diǎn)又叫做“奇點(diǎn)”.見(jiàn)下圖：
歐拉通過(guò)分析,得到了下面的結(jié)論：若是一個(gè)一筆畫(huà)圖形,要么只有兩個(gè)奇點(diǎn),也就是
僅有起點(diǎn)和終點(diǎn),這樣一筆畫(huà)成的圖形是開(kāi)放的；要么沒(méi)有奇點(diǎn),也就是終點(diǎn)和起點(diǎn)連
接起來(lái),這樣一筆畫(huà)成的圖形是封閉的.由于七橋問(wèn)題有四個(gè)奇點(diǎn),所以要找到一條經(jīng)
過(guò)七座橋,但每座橋只走一次的路線(xiàn)是不可能的.
有名的“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”就這樣被歐拉解決了.
在這里,我們可以看到歐拉解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵就是把“七橋問(wèn)題”變成了一個(gè)“一筆
畫(huà)”問(wèn)題,那么,歐拉又是怎樣完成這一轉(zhuǎn)變的呢?
他把島、半島和陸地的具體屬性舍去,而僅僅留下與問(wèn)題有關(guān)的東西,這就是四個(gè)幾何
上的“點(diǎn)”；他再把橋的具體屬性排除,僅留下一條幾何上的“線(xiàn)”,然后,把“點(diǎn)”
與“線(xiàn)”結(jié)合起來(lái),這樣就實(shí)現(xiàn)了從客觀(guān)事物到圖形的轉(zhuǎn)變.我們把得到“點(diǎn)”和“線(xiàn)
”的思維方法叫做抽象,把由“點(diǎn)”和“線(xiàn)”結(jié)合成圖形的思維方法叫做概括.所謂抽
象就是從客觀(guān)事物中排除非本質(zhì)屬性,透過(guò)現(xiàn)象抽出本質(zhì)屬性的思維方法.概括就是將
個(gè)別事物的本質(zhì)屬性結(jié)合起來(lái)的思維方法.
Euler在1736年訪(fǎng)問(wèn)Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)時(shí),他發(fā)現(xiàn)當(dāng)?shù)氐氖忻裾龔氖乱豁?xiàng)非常有趣的消遣活動(dòng).Konigsberg城中有一條名叫Pregel的河流橫經(jīng)其中,在河上建有七座橋如圖所示: 這項(xiàng)有趣的消遣活動(dòng)是在星期六作一次走過(guò)所有七座橋的散步,每座橋只能經(jīng)過(guò)一次而且起點(diǎn)與終點(diǎn)必須是同一地點(diǎn).
Euler把每一塊陸地考慮成一個(gè)點(diǎn),連接兩塊陸地的橋以線(xiàn)表示,便得如下的圖后來(lái)推論出此種走法是不可能的.他的論點(diǎn)是這樣的,除了起點(diǎn)以外,每一次當(dāng)一個(gè)人由一座橋進(jìn)入一塊陸地（或點(diǎn)）時(shí),他（或她）同時(shí)也由另一座橋離開(kāi)此點(diǎn).所以每行經(jīng)一點(diǎn)時(shí),計(jì)算兩座橋（或線(xiàn)）,從起點(diǎn)離開(kāi)的線(xiàn)與最后回到始點(diǎn)的線(xiàn)亦計(jì)算兩座橋,因此每一個(gè)陸地與其他陸地連接的橋數(shù)必為偶數(shù).
七橋所成之圖形中,沒(méi)有一點(diǎn)含有偶數(shù)條數(shù),因此上述的任務(wù)是不可能實(shí)現(xiàn)的.