1. 已知集合A＝{1,3,x},B＝{1,x2},A∪B＝{1,3,x},則這樣的x的不同的值有( )個(gè)
A.1 B.2 C.3 D.4已知集合M中的元素都是自然數(shù),且如果x∈M,則8－x∈M,則滿(mǎn)足這樣條件的集合M的個(gè)數(shù)為()(注：自然數(shù)包括0)
A.64 B.32 C.16 D.8求集合{x∈Z| ≤2x＜32}的真子集個(gè)數(shù).
4. 在1～120的120個(gè)自然數(shù)中,素?cái)?shù)與合數(shù)各有多少個(gè)?
5. 已知M＝{a,a＋d,a＋2d},N＝{a,aq,aq2},且M＝N,求q的值.
6. 在數(shù)理化三科競(jìng)賽輔導(dǎo)中,高一10、11、12班參加數(shù)學(xué)輔導(dǎo)的有168人,參加物理輔導(dǎo)的有187人,參加化學(xué)輔導(dǎo)的有155人,數(shù)學(xué)、物理兩科都參加的有139人,數(shù)學(xué)、化學(xué)兩科都參加的有127人,物理、化學(xué)兩科都參加的有135人,數(shù)理化三科都參加的有102人,問(wèn)這三個(gè)班總共有多少人至少參加了一科的輔導(dǎo)?
根據(jù)容斥原理,至少參加一科輔導(dǎo)的學(xué)生人數(shù)為：
168＋187＋155－139－127－135＋102＝211
7. 求證：任意n＋1個(gè)整數(shù)中,總有兩個(gè)整數(shù)的差能被n整除.
提示：利用余數(shù)構(gòu)造n個(gè)集合,根據(jù)抽屜原理,至少有兩個(gè)整數(shù)放在一個(gè)集合里,它們同余,它們的差一定能被n整除.
8. 證明：若購(gòu)買(mǎi)超過(guò)17千克（整數(shù)千克）的糧食,只用3千克和10千克的糧票支付,而無(wú)需要找補(bǔ).
本題其實(shí)就是證明大于17的整數(shù)都能表示為3m＋10n的形式,其中m,n都是非負(fù)整數(shù).注意到：大于17的整數(shù)可以寫(xiě)成3k,3k＋1,3k＋2(k≥6)的形式,而3k＋1＝3(k－3)＋10,3k＋2＝3(k－6)＋10×2,因此它們都能夠表示成3m＋10n的形式,其中m,n都是非負(fù)整數(shù).
9. 設(shè)A是數(shù)集,滿(mǎn)足若a∈A,則 ∈A,且1?A.
⑴若2∈A,則A中至少還有幾個(gè)元素?求出這幾個(gè)元素.
⑵A能否為單元素集合?分別在實(shí)數(shù)集和復(fù)數(shù)集中進(jìn)行討論.
⑶若a∈A,證明：1－ ∈A.
⑴2∈A?－1∈A? ∈A?2∈A
∴ A中至少還有兩個(gè)元素：－1和
⑵如果A為單元素集合,則a＝
即a2－a＋1＝0
該方程無(wú)實(shí)數(shù)解,故在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),A不可能是單元素集
但該方程有兩個(gè)虛數(shù)a＝ i
故在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),A可以是單元素集,A＝{ i}或A＝{ i}
⑶a∈A? ∈A? ∈A,即1－ ∈A
10. 設(shè)S為集合{1,2,3,……,50}的一個(gè)子集,且S中任意兩個(gè)元素之和不能被7整除,則S中元素最多有多少個(gè)?
將這50個(gè)數(shù)按照7的余數(shù)劃分成7個(gè)集合
A0={7,14,21,28,35,42,49}
A1={1,8,15,22,29,36,43,50}
A2={2,9,16,23,30,37,44}
A3={3,10,17,24,31,38,45}
A4={4,11,18,25,32,39,46}
A5={5,12,19,26,33,40,47}
A6={6,13,20,27,34,41,48}
除去A0中的7個(gè)元素外,其余集合中的元素都不能被7整除,而且其余六個(gè)集合的每一個(gè)集合中任意兩個(gè)元素之和也不能被7整除,但是,A1和A6、A2和A5、A3和A4中如果各取一個(gè)元素的話(huà),這兩個(gè)元素之和能夠被7整除,因此,所求集合中的元素可以這樣構(gòu)成：A0中取一個(gè),然后在A1和A6、A2和A5、A3和A4每一組的兩個(gè)集合中取一個(gè)集合中的所有元素,為了“最多”,必須取A1中的8個(gè),然后可以取A2、A3中各7個(gè)元素,因此S中元素最多有1+8+7+7=23個(gè)