我來用反證法試一下,有點(diǎn)麻煩
假設(shè)f(x)是周期函數(shù),周期為T,則有sin(x+T)+sin(x√2+T√2)-sinx-sin(x√2)=0對(duì)任何x恒成立
可分別令x=0和x=T,則一定有
sinT+sin(T√2)=0(記為i)且sin(2T)+sin(2T√2)-sinT-sin(T√2)(記為ii)
首先直接接i得T1=2kπ/(√2+1)(k屬于Z)
再將i代入ii得sin(2T)+sin(2T√2)=0,用二倍角公式展開,得2sinT(cosT-cos(T√2))=0(記為iii)
直接求解iii得T2=2kπ或T2=2kπ/(√2-1) (k屬于Z)
由于T1、T2均為所設(shè)周期T的一般情況,則一定會(huì)有T1=T2(兩個(gè)k可以取不同值)
然而,易證T1≠T2（可以設(shè)k1、k2,當(dāng)T1和T2相等時(shí)k1、k2比值為無理數(shù),顯然不成立）
則不存在滿足要求的T,與題設(shè)矛盾
所以f(x)是非周期函數(shù)