設(shè)f(x)和g(x)分別為m.n次多項(xiàng)式
f(x) = amx^m + …… + a1x + a0
g(x) = bnx^n + …… + b1x + b0
若m
則f1(x)的次數(shù)小于m
由歸納假設(shè),存在q1(x)和r1(x),使得
f1(x) = q1(x)g(x) + r1(x),其中r1(x)次數(shù)小于g(x)次數(shù)
所以f(x) = (q1(x) + (am/bn)n^(m-n))g(x) + r1(x)
令q(x) = q1(x) + (am/bn)n^(m-n),r(x) = r1(x)
則m=k時(shí)結(jié)論也成立
所以存在性就證出來了
下面證唯一性
假設(shè)同時(shí)存在q1(x),r1(x)和q2(x),r2(x)滿足要求,則
f(x) = q1(x)g(x) + r1(x) = q2(x)g(x) + r2(x)
[q1(x)-q2(x)]g(x) = r1(x) - r2(x)
若q1(x)=q2(x),則r1(x)=r2(x),與假設(shè)矛盾
所以q1(x)≠q2(x)
于是左端次數(shù)≥g(x)次數(shù)>[r1(x) - r2(x)]的次數(shù),這不可能相等
所以假設(shè)不成立