第一個問題：
方法一：
∵點(diǎn)C在直線y＝x上,∴可設(shè)C的坐標(biāo)為（a,a）,半徑為r.
這樣,⊙C的方程就可以寫成：（x－a）^2＋（y－a）^2＝r^2.
∵點(diǎn)A（－2,0）、B（0,2）在⊙C上,∴（－2－a）^2＋a^2＝r^2、a^2＋（2－a）^2＝r^2,
比較上述兩式,得：（－2－a）^2＝（2－a）^2,∴4＋4a＋a^2＝4－4a＋a^2,∴a＝0,
從而容易得出：r^2＝4.
∴滿足條件的⊙C的方程是：x^2＋y^2＝4.
方法二：
∵⊙C過點(diǎn)A（－2,0）、B（0,2）,∴C一定在AB的中垂線上.
由A、B的坐標(biāo),容易得出：OA＝OB,∴AB的中垂線就是∠AOB的角平分線,
∴點(diǎn)C在直線y＝－x上,又點(diǎn)C在直線y＝x上,∴點(diǎn)C就是坐標(biāo)原點(diǎn).
∴⊙C的半徑＝AC＝OA＝2.
∴⊙C的方程是：x^2＋y^2＝4.
第二個問題：
設(shè)存在滿足條件的K.
聯(lián)立：x^2＋y^2＝4、y＝Kx＋1,消去y,得：x^2＋（Kx＋1）^2＝4,
∴（1＋K^2）x^2＋2Kx－3＝0.
∵P、Q都在直線y＝Kx＋1上,∴可設(shè)P、Q的坐標(biāo)分別為（m,Km＋1）、（n,Kn＋1）.
顯然,m、n是方程（1＋K^2）x^2＋2Kx－3＝0的兩根,∴由韋達(dá)定理,有：
m＋n＝－2K/（1＋K^2）、mn＝－3/（1＋K^2）.
很明顯,向量OP＝（m,Km＋1）、向量OQ＝（n,Kn＋1）.
∵OP⊥OQ,∴向量OP·向量OQ＝0,∴mn＋（Km＋1）（Kn＋1）＝0,
∴mn＋K^2mn＋K（m＋n）＋1＝0,∴（1＋K^2）mn＋K（m＋n）＋1＝0,
∴（1＋K^2）［－3/（1＋K^2）］＋K［－2K/（1＋K^2）］＋1＝0,
∴－2－2K^2/（1＋K^2）＝0,∴K^2/（1＋K^2）＝－1,∴K^2＝－1－K^2,
∴2K^2＝－1＜0,這自然是不合理的.
∴滿足條件的K不存在.
第三個問題：
∵PQ的斜率為K,又MN⊥PQ,∴MN的斜率為－1/K.
∴MN的方程為：y＝－（1/K）x＋1.
聯(lián)立：x^2＋y^2＝4、y＝－（1/K）x＋1,消去y,得：x^2＋［－（1/K）x＋1］^2＝4,
∴（1＋1/K^2）x^2－（2/K）x－3＝0.
∵M(jìn)、N都直線y＝－（1/K）x＋1上,
∴可設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為（p,－（1/K）p＋1）、（q,－（1/K）q＋1）.
顯然,p、q是方程（1＋1/K^2）x^2－（2/K）x－3＝0的兩根,∴由韋達(dá)定理,有：
p＋q＝（2/K）/（1＋1/K^2）＝2K/（1＋K^2）、pq＝－3/（1＋1/K^2）＝－3K^2/（1＋K^2）.
∵PQ＝√［（m－n）^2＋（Km－Kn）^2］＝√［（1＋K^2）（m－n）^2］,
　MN＝√｛（p－q）^2＋［（1/K）p－（1/K）q］^2｝＝√［（1＋1/K^2）（p－q）^2］.
∴PQ×MN＝√｛［（1＋K^2）^2/K^2］（m－n）^2（p－q）^2｝.
∴S(四邊形PMQN)
＝（1/2）PQ×MN＝（1/2）√｛［（1＋K^2）^2/K^2］（m－n）^2（p－q）^2｝.
∵m＋n＝－2K/（1＋K^2）、mn＝－3/（1＋K^2）,
∴（m＋n）^2－4mn
＝4K^2/（1＋K^2）^2＋12/（1＋K^2）＝（12＋16K^2）/（1＋K^2）^2.
∵p＋q＝2K/（1＋K^2）、pq＝－3K^2/（1＋K^2）,
∴（p＋q）^2－4pq
＝4K^2/（1＋K^2）^2＋12K^2/（1＋K^2）＝（16K^2＋12K^4）/（1＋K^2）^2.
∴［（m＋n）^2－4mn］［（p＋q）^2－4pq］
＝（12＋16K^2）（16K^2＋12K^4）/（1＋K^2）^4.
顯然,當(dāng)［（1＋K^2）^2/K^2］（m－n）^2（p－q）^2有最大值時,
S(四邊形PMQN)有最大值.
∵［（1＋K^2）^2/K^2］（m－n）^2（p－q）^2
＝［（1＋K^2）^2/K^2］［（m＋n）^2－4mn］［（p＋q）^2－4pq］
＝［（1＋K^2）^2/K^2］［（12＋16K^2）（16K^2＋12K^4）/（1＋K^2）^4］
＝（12＋16K^2）（16＋12K^2）/（1＋K^2）^2
＝16［（3＋4K^2）/（1＋K^2）］［（4＋3K^2）/（1＋K^2）］
＝16［4－1/（1＋K^2）］［1/（1＋K^2）＋3］
＝16［12＋1/（1＋K^2）－1/（1＋K^2）^2］
＝16［13－3/4－1/4＋1/（1＋K^2）－1/（1＋K^2）^2］
＝16（13－3/4）－16［1/2－1/（1＋K^2）］^2.
∴當(dāng)1/2－1/（1＋K^2）＝0時,
?。郏?＋K^2）^2/K^2］（m－n）^2（p－q）^2有最大值＝16（13－3/4）＝4×49.
∴（1/2）√｛［（1＋K^2）^2/K^2］（m－n）^2（p－q）^2｝的最大值＝（1/2）×2×7＝7.
∴S(四邊形PMQN)的最大值是7.你不是人