直角三角形ABC中,角C為直角,D,E,F分別是AB,AC,BC邊上的點(diǎn),且D為中點(diǎn),角EDF為直角,求證EF平方=AE平方+BF平

數(shù)學(xué)人氣：394 ℃時(shí)間：2019-11-06 11:59:11

優(yōu)質(zhì)解答

很好證,這是典型的旋轉(zhuǎn)體問(wèn)題:
證明:
以D為圓點(diǎn),DB為半徑,將DB邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180度,此時(shí)BD邊和AD邊重合
B點(diǎn)和A點(diǎn)重合,記F點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到F'
∴AF'=FB,DF=DF',∠ADF'=∠FDB
∵D是AB邊的中點(diǎn),
∴此時(shí)B點(diǎn)和A點(diǎn)重合
∵Rt△ABC中,∠C是Rt角
∴∠A和∠B互余
∴∠CAF'=90度
∴在Rt△AEF'中,AE方+F'B方=EF'方
∵DF=DF',且∠ADF'=∠FDB
∴ED垂直平分FF'
∴EF=EF'
∴AE方+AF'方=AE方+FB方=EF'方=EF方
命題得證