一次函數(shù)目錄
定義與定義式
一次函數(shù)的性質(zhì)
一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)
確定一次函數(shù)的表達(dá)式
一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用
常用公式
應(yīng)用
【解釋】函數(shù)的基本概念：一般地,在某一變化過程中,有兩個(gè)變量x和y,如果給定一個(gè)X值,相應(yīng)地就確定了唯一一個(gè)Y值與X對(duì)應(yīng),那么我們稱Y是X的函數(shù)（function).其中X是自變量,Y是因變量,也就是說Y是X的函數(shù).當(dāng)x=a時(shí),函數(shù)的值叫做當(dāng)x=a時(shí)的函數(shù)值.
[編輯本段]定義與定義式
自變量x和因變量y有如下關(guān)系：
y=kx （k為任意不為零實(shí)數(shù)）
或y=kx+b （k為任意不為零實(shí)數(shù),b為任意實(shí)數(shù)）
則此時(shí)稱y是x的一次函數(shù).
特別的,當(dāng)b=0時(shí),y是x的正比例函數(shù).正比例是?：?.
即：y=kx （k為任意不為零實(shí)數(shù)）
定義域：自變量的取值范圍,自變量的取值應(yīng)使函數(shù)有意義；要與實(shí)際相符合.
[編輯本段]一次函數(shù)的性質(zhì)
1.y的變化值與對(duì)應(yīng)的x的變化值成正比例,比值為k
即：y=kx+b（k≠0) （k為任意不為零的實(shí)數(shù) b取任何實(shí)數(shù)）
2.當(dāng)x=0時(shí),b為函數(shù)在y軸上的截距.
3.k為一次函數(shù)y=kx+b的斜率,k=tg角1(角1為一次函數(shù)圖象與x軸正方向夾角)
形.取.象.交.減
正比例函數(shù)也是一次函數(shù).
[編輯本段]一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)
1．作法與圖形：通過如下3個(gè)步驟
（1）列表[一般取兩個(gè)點(diǎn),根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線]；
（2）描點(diǎn)；
（3）連線,可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線.因此,作一次函數(shù)的圖像只需知道2點(diǎn),并連成直線即可.（通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點(diǎn)）
2．性質(zhì)：（1）在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)P（x,y）,都滿足等式：y=kx+b(k≠0).（2）一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是（0,b),與x軸總是交于（-b/k,0）正比例函數(shù)的圖像總是過原點(diǎn).
3．函數(shù)不是數(shù),它是指某一變量過程中兩個(gè)變量之間的關(guān)系.
4．k,b與函數(shù)圖像所在象限：
y=kx時(shí)（既b等于0,y與x成正比)
當(dāng)k＞0時(shí),直線必通過一、三象限,y隨x的增大而增大；
當(dāng)k＜0時(shí),直線必通過二、四象限,y隨x的增大而減小.
y=kx+b時(shí)：
當(dāng) k>0,b>0, 這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過一,二,三象限.
當(dāng) k>0,b<0, 這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過一,三,四象限.
當(dāng) k<0,b<0, 這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過二,三,四象限.
當(dāng) k<0,b>0, 這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過一,二,四象限.
當(dāng)b＞0時(shí),直線必通過一、二象限；
當(dāng)b＜0時(shí),直線必通過三、四象限.
特別地,當(dāng)b=0時(shí),直線通過原點(diǎn)O（0,0）表示的是正比例函數(shù)的圖像.
這時(shí),當(dāng)k＞0時(shí),直線只通過一、三象限；當(dāng)k＜0時(shí),直線只通過二、四象限.
4、特殊位置關(guān)系
當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線平行時(shí),其函數(shù)解析式中K值（即一次項(xiàng)系數(shù)）相等
當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線垂直時(shí),其函數(shù)解析式中K值互為負(fù)倒數(shù)（即兩個(gè)K值的乘積為-1）
[編輯本段]確定一次函數(shù)的表達(dá)式
已知點(diǎn)A（x1,y1）；B（x2,y2）,請(qǐng)確定過點(diǎn)A、B的一次函數(shù)的表達(dá)式.
（1）設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式（也叫解析式）為y=kx+b.
（2）因?yàn)樵谝淮魏瘮?shù)上的任意一點(diǎn)P（x,y）,都滿足等式y(tǒng)=kx+b.所以可以列出2個(gè)方程：y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②
（3）解這個(gè)二元一次方程,得到k,b的值.
（4）最后得到一次函數(shù)的表達(dá)式.
[編輯本段]一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用
1.當(dāng)時(shí)間t一定,距離s是速度v的一次函數(shù).s=vt.
2.當(dāng)水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水時(shí)間t的一次函數(shù).設(shè)水池中原有水量S.g=S-ft.
[編輯本段]常用公式
1.求函數(shù)圖像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)
2.求與x軸平行線段的中點(diǎn)：|x1-x2|/2
3.求與y軸平行線段的中點(diǎn)：|y1-y2|/2
4.求任意線段的長：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根號(hào)下（x1-x2)與（y1-y2)的平方和）
5.求兩一次函數(shù)式圖像交點(diǎn)坐標(biāo)：解兩函數(shù)式
兩個(gè)一次函數(shù) y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 將解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 兩式任一式 得到y(tǒng)=y0 則(x0,y0)即為 y1=k1x+b1 與 y2=k2x+b2 交點(diǎn)坐標(biāo)
6.求任意2點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)坐標(biāo)：[（x1+x2）/2,（y1+y2）/2]
7.求任意2點(diǎn)的連線的一次函數(shù)解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其中分母為0,則分子為0)
k b
+ + 在一、二、三象限
+ - 在一、三、四象限
- + 在一、二、四象限
- - 在二、三、四象限
8.若兩條直線y1=k1x+b1‖y2=k2x+b2,那么k1=k2,b1≠b2
9.如兩條直線y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2,那么k1×k2=-1
10.左移X則B+X,右移X則B-X
11.上移Y則X項(xiàng)+Y,下移Y則X項(xiàng)-Y
（此處不全 愿有人補(bǔ)充）
[編輯本段]應(yīng)用
一次函數(shù)y=kx+b的性質(zhì)是：（1）當(dāng)k>0時(shí),y隨x的增大而增大；（2）當(dāng)k<0時(shí),y隨x的增大而減小.利用一次函數(shù)的性質(zhì)可解決下列問題.
一、確定字母系數(shù)的取值范圍
例1. 已知正比例函數(shù) ,則當(dāng)m=______________時(shí),y隨x的增大而減小.
根據(jù)正比例函數(shù)的定義和性質(zhì),得 且m<0,即 且 ,所以 .
二、比較x值或y值的大小
例2. 已知點(diǎn)P1（x1,y1）、P2（x2,y2）是一次函數(shù)y=3x+4的圖象上的兩個(gè)點(diǎn),且y1>y2,則x1與x2的大小關(guān)系是（ ）
A. x1>x2 B. x1
三、判斷函數(shù)圖象的位置
例3. 一次函數(shù)y=kx+b滿足kb>0,且y隨x的增大而減小,則此函數(shù)的圖象不經(jīng)過（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
由kb>0,知k、b同號(hào).因?yàn)閥隨x的增大而減小,所以k<0.所以b<0.故一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限,不經(jīng)過第一象限.故選A . 典型例題:
例1. 一個(gè)彈簧,不掛物體時(shí)長12cm,掛上物體后會(huì)伸長,伸長的長度與所掛物體的質(zhì)量成正比例.如果掛上3kg物體后,彈簧總長是13.5cm,求彈簧總長是y(cm)與所掛物體質(zhì)量x(kg)之間的函數(shù)關(guān)系式.如果彈簧最大總長為23cm,求自變量x的取值范圍.
分析：此題由物理的定性問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的定量問題,同時(shí)也是實(shí)際問題,其核心是彈簧的總長是空載長度與負(fù)載后伸長的長度之和,而自變量的取值范圍則可由最大總長→最大伸長→最大質(zhì)量及實(shí)際的思路來處理.
由題意設(shè)所求函數(shù)為y=kx+12
則13.5=3k+12,得k=0.5
∴所求函數(shù)解析式為y=0.5x+12
由23=0.5x+12得：x=22
∴自變量x的取值范圍是0≤x≤22
例2
某學(xué)校需刻錄一些電腦光盤,若到電腦公司刻錄,每張需8元,若學(xué)校自刻,除租用刻錄機(jī)120元外,每張還需成本4元,問這些光盤是到電腦公司刻錄,還是學(xué)校自己刻費(fèi)用較省?
此題要考慮X的范圍
解:設(shè)總費(fèi)用為Y元,刻錄X張
電腦公司：Y1=8X
學(xué)校 ：Y2=4X+120
當(dāng)X=30時(shí),Y1=Y2
當(dāng)X>30時(shí),Y1>Y2
當(dāng)X<30時(shí),Y1
一次函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)在中考說明中是C級(jí)知識(shí)點(diǎn),特別是根據(jù)問題中的條件求函數(shù)解析式和用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式在中考說明中是D級(jí)知識(shí)點(diǎn).它常與反比例函數(shù)、二次函數(shù)及方程、方程組、不等式綜合在一起,以選擇題、填空題、解答題等題型出現(xiàn)在中考題中,大約占有8分左右.解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.
例2.如果一次函數(shù)y=kx+b中x的取值范圍是-2≤x≤6,相應(yīng)的函數(shù)值的范圍是-11≤y≤9.求此函數(shù)的的解析式.
（1）若k＞0,則可以列方程組 -2k+b=-11
6k+b=9
解得k=2.5 b=-6 ,則此時(shí)的函數(shù)關(guān)系式為y=2.5x—6
（2）若k＜0,則可以列方程組 -2k+b=9
6k+b=-11
解得k=-2.5 b=4,則此時(shí)的函數(shù)解析式為y=-2.5x+4
【考點(diǎn)指要】
此題主要考察了學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解,若k＞0,則y隨x的增大而增大；若k＜0,則y隨x的增大而減小.
一次函數(shù)解析式的幾種類型
①ax+by+c=0[一般式]
②y=kx+b[斜截式]
（k為直線斜率,b為直線縱截距,正比例函數(shù)b=0）
③y-y1=k(x-x1)[點(diǎn)斜式]
（k為直線斜率,(x1,y1)為該直線所過的一個(gè)點(diǎn)）
④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[兩點(diǎn)式]
（（x1,y1）與（x2,y2）為直線上的兩點(diǎn)）
⑤x/a-y/b=0[截距式]
（a、b分別為直線在x、y軸上的截距）
解析式表達(dá)局限性：
①所需條件較多（3個(gè)）；
②、③不能表達(dá)沒有斜率的直線（平行于x軸的直線）；
④參數(shù)較多,計(jì)算過于煩瑣；
⑤不能表達(dá)平行于坐標(biāo)軸的直線和過圓點(diǎn)的直線.
傾斜角：x軸到直線的角（直線與x軸正方向所成的角）稱為直線的傾斜 角.設(shè)一直線的傾斜角為a,則該直線的斜率k=tg(a)
以上回答你滿意么?