第一次切下的盡可能大的正方體的棱長是12厘米，則體積為12³=1728（立方厘米）；
這時剩余立體底面形狀如圖（1），其高是12厘米．
這樣第二次切下的盡可能大的正方體棱長為9厘米，其體積是9³=729（立方厘米）．
第二次切割后，剩下的立體可以看作是由兩部分組成的：
一部分的底面形狀如圖（2），高為12厘米，另一部分底面形狀如圖3，高是3厘米．顯然，第三次切下的盡可能大的正方體棱長為6厘米，其體積為6³=216（立方厘米）．
所以，剩下的體積為21×15×12-1728-729-216=1107（立方厘米）．
答：剩下部分的體積是1107立方厘米．