abc+ab+ac+bc+a+b+c+1=2004
ab（c+1）+a（c+1）+b（c+1）+（c+1）=2004
（c+1）（ab+a+b+1）=2004
（a+1）（b+1）（c+1）=2004
因?yàn)閍、b、c都是正整數(shù)，
那么a+1、b+1、c+1也都是正整數(shù)，且它們都大于1
而2004=2×2×3×167
現(xiàn)在要把2004寫成3個(gè)正整數(shù)的乘積，只有下面4種情況：
1，2004=2×6×167，此時(shí)a+1+b+1+c+1=2+6+167=175，那么a+b+c=172；
2，2004=2×3×334，此時(shí)a+1+b+1+c+1=2+3+334=339，那么a+b+c=336；
3，2004=2×2×501，此時(shí)a+1+b+1+c+1=2+2+501=505，那么a+b+c=502；
4，2004=4×3×167，此時(shí)a+1+b+1+c+1=4+3+167=174，那么a+b+c=171
所以最小的是第4種情況，即a+b+c的最小值為171，
答：a+b+c的最小值是171．