后項(xiàng)=根號(hào)(前項(xiàng)+2) (*)
首先證明每一項(xiàng)都小於2.這一點(diǎn)可以歸納證:
(1) 根號(hào)2小于2
(2) 假設(shè)前項(xiàng)小於2,則前項(xiàng)+2 小于4,所以后項(xiàng)=根號(hào)(前項(xiàng)+2)小於2.
由數(shù)學(xué)歸納法知全部項(xiàng)小於2.
再證此數(shù)列單調(diào)增.
由于每一項(xiàng)都小于2,所以
后項(xiàng) = 根號(hào)(前項(xiàng)+2) > 根號(hào)(前項(xiàng)+前項(xiàng)) = 根號(hào)(2*前項(xiàng)) >根號(hào)(前項(xiàng)*前項(xiàng))
=前項(xiàng).
所以此數(shù)列單調(diào)遞增有上界,極限存在,設(shè)為a.
由(*),兩邊取極限得
a = 根號(hào)(a+2)
解得 a = 2 或 a=-1(舍去)
所以極限為2.