[編輯本段]標(biāo)準(zhǔn)方程
高中課本在平面直角坐標(biāo)系中,用方程描述了橢圓,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的“標(biāo)準(zhǔn)”指的是中心在原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸.
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種,取決于焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸：
1）焦點(diǎn)在X軸時(shí),標(biāo)準(zhǔn)方程為：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)
2）焦點(diǎn)在Y軸時(shí),標(biāo)準(zhǔn)方程為：x^2/b^2+y^2/a^2=1 (a>b>0)
其中a>0,b>0.a、b中較大者為橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng),較短者為短半軸長(zhǎng)（橢圓有兩條對(duì)稱軸,對(duì)稱軸被橢圓所截,有兩條線段,它們的一半分別叫橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸或半長(zhǎng)軸和半短軸）當(dāng)a>b時(shí),焦點(diǎn)在x軸上,焦距為2*(a^2-b^2)^0.5,焦距與長(zhǎng).短半軸的關(guān)系:b^2=a^2-c^2 ,準(zhǔn)線方程是x=a^2/c和x=-a^2/c
又及：如果中心在原點(diǎn),但焦點(diǎn)的位置不明確在X軸或Y軸時(shí),方程可設(shè)為mx^2+ny^2=1(m＞0,n＞0,m≠n).既標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式.
橢圓的面積是πab.橢圓可以看作圓在某方向上的拉伸,它的參數(shù)方程是：x=acosθ ,y=bsinθ
標(biāo)準(zhǔn)形式的橢圓在x0,y0點(diǎn)的切線就是 ：xx0/a^2+yy0/b^2=1
[編輯本段]公式
橢圓的面積公式
S=π(圓周率)×a×b(其中a,b分別是橢圓的長(zhǎng)半軸,短半軸的長(zhǎng)).
或S=π(圓周率)×A×B/4(其中A,B分別是橢圓的長(zhǎng)軸,短軸的長(zhǎng)).
橢圓的周長(zhǎng)公式
橢圓周長(zhǎng)沒(méi)有公式,有積分式或無(wú)限項(xiàng)展開(kāi)式.
橢圓周長(zhǎng)(L)的精確計(jì)算要用到積分或無(wú)窮級(jí)數(shù)的求和.如
L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [橢圓近似周長(zhǎng)],其中a為橢圓長(zhǎng)半軸,e為離心率
橢圓離心率的定義為橢圓上的點(diǎn)到某焦點(diǎn)的距離和該點(diǎn)到該焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離之比,設(shè)橢圓上點(diǎn)P到某焦點(diǎn)距離為PF,到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離為PL,則
e=PF/PL
橢圓的準(zhǔn)線方程
x=±a^2/C
橢圓的離心率公式
e=c/a
橢圓的焦準(zhǔn)距 ：橢圓的焦點(diǎn)與其相應(yīng)準(zhǔn)線(如焦點(diǎn)（c,0）與準(zhǔn)線x=+a^2/C)的距離,數(shù)值=b^2/c
橢圓焦半徑公式 ｜PF1｜=a+ex0 ｜PF2｜=a-ex0
橢圓過(guò)右焦點(diǎn)的半徑r=a-ex
過(guò)左焦點(diǎn)的半徑r=a+ex
橢圓的通徑：過(guò)焦點(diǎn)的垂直于x軸（或y軸）的直線與橢圓的兩焦點(diǎn)A,B之間的距離,數(shù)值=2b^2/a
點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系 點(diǎn)M（x0,y0） 橢圓 x^2/a^2+y^2/b^2=1
點(diǎn)在圓內(nèi)：x0^2/a^2+y0^2/b^2＜1
點(diǎn)在圓上：x0^2/a^2+y0^2/b^2=1
點(diǎn)在圓外：x0^2/a^2+y0^2/b^2＞1
直線與橢圓位置關(guān)系
y=kx+m ①
x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②
由①②可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1
相切△=0
相離△＜0無(wú)交點(diǎn)
相交△＞0 可利用弦長(zhǎng)公式：A(x1,y1) B(x2,y2)
|AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2] = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2]
橢圓通徑（定義：圓錐曲線（除圓外）中,過(guò)焦點(diǎn)并垂直于軸的弦）公式：2b^2/a