P(X=k)=C(M,k)C(N-M,n-k)/C(N,n),k=0,1,...,n.
E(X)=∑[k=0,n]kC(M,k)C(N-M,n-k)/C(N,n)
=∑[k=1,n]kC(M,k)C(N-M,n-k)/C(N,n)
=∑[k=1,n]MC(M-1,k-1)C(N-M,n-k)/C(N,n)
=[M/C(N,n)]∑[i=0,n-1]C(M-1,i)C(N-M,n-i-1)
=[M/C(N,n)]*C(N-1,n-1)
=nM/N.
從倒數(shù)第三步到倒數(shù)第二步是怎么得來(lái)的?
超幾何分布H(n-1,M-1,N-1)的概率分布是
P(X=i)=C(M-1,i)C(N-M,n-i-1)/C(N-1,n-1),i=1,2,...,n-1.
由分布律的規(guī)范性,
∑[i=0,n-1]C(M-1,i)C(N-M,n-i-1)/C(N-1,n-1)=1,
∑[i=0,n-1]C(M-1,i)C(N-M,n-i-1)=C(N-1,n-1).