設(shè)圓錐高為h,底部半徑為r,把圓錐等分為k份,每份看做一個(gè)小圓柱.
則第n份圓柱的高為h/k,半徑為n*r/k.
則第k份圓柱的體積為h/k*pi*(n*r/k)^2=Pi*h*r^2*n^2/k^3
總的體積為Pi*h*r^2*(1+2^2+3^2+...+k^2)/k^3
而1+2^2+3^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
則總體積為Pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
K越大,這個(gè)總體積越接近于圓錐的體積.
當(dāng)K為無窮大時(shí),則1/k等于0.即總體積為Pi*h*r^2/3,即為圓柱體積的三分之一.
或用微積分證明
：會問這個(gè)問題的大概肯定不會微積分,所以我說一下用祖暅原理的想法.
祖暅原理指：等高處橫截面積恒相等的兩個(gè)立體,其體積也必然相等.嚴(yán)格證明其實(shí)還是要用微積分,不過這個(gè)比較直觀,拿來用吧.
圓錐的橫截面是一個(gè)圓,用幾何關(guān)系不難推出截面圓的半徑與截面與頂點(diǎn)距離h、圓錐高H及底面大圓半徑R的關(guān)系（請自己畫個(gè)圖做）,設(shè)它為r,則易見r = Rh/H.
于是看出r與高h(yuǎn)是一次關(guān)系,故可以構(gòu)造一個(gè)三棱錐,使它與圓錐等高且截面積與之相等.問題轉(zhuǎn)化為求三棱錐體積.
三棱錐體積可以用割補(bǔ)的方法來證明,為了簡單,還可以用祖暅原理化為求底為直角三角形的直棱錐,在立方體上進(jìn)行割補(bǔ).就不詳細(xì)寫了.