這里條件A+C<=2B,等價(jià)于B>=60,而給定a,c,當(dāng)B=60的時(shí)候如果成立,當(dāng)B>60的時(shí)候也成立
也就是說(shuō)只需要證明B=60的時(shí)候即可
令三個(gè)證明中1）可以推出2）,2）可以推出3）
方法如下：若a+c<=2b,則(a+c)^2<=4b^2,只需證b^2>=ac即可
即只需證明b/a>=c/b
等價(jià)于證明sinB/sinA>=sinC/sinB
注意到B=60,所以只需證明4sinAsinC<=3即可,其中A+C=120
由積化和差公式4sinAsinC=2[cos(A-C)-cos(A+C)]=2cos(A-C)+1<=3
等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)A=C
由b^2>=ac,同樣可以由2）推出3）
下面證明1）
由余弦定理,(a^2+c^2-b^2)/2ac=cosB=1/2
得到a^2+c^2-b^2=ac,
所以有(a+c)^2=b^2+3ac<=4b^2,這里用到已經(jīng)證明的b^2>=ac
即得a+c<=2b,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)A=B=C