法一：變形得x=(21-23y)/5=4+(1-23y)/5,要使x是整數(shù),則1-23y必須為5的倍數(shù),這樣,-23y的個位數(shù)可以是4(-23y不妨認為是正數(shù)),此時令y取-8,得x=41
,注意,x=41,y=-8僅僅是一組特解,事實上,方程5x+23y=21的整數(shù)解有無窮個,這就要求我們尋找到他的所有解的一般形式,令x=41+23n,y=-8-5n,其中n
可取任意整數(shù),這就是方程5x+23y=21的整數(shù)解的某一種一般表達式,稱之為通解,可代入方程檢驗.還有一點要注意23與5分別是方程中y,x的系數(shù).
法二：這種解法讓你有一種進食"智慧快餐"的味道.方程變形,5x=21-23y,這可以看作5x被23除余21,記作5x≡21(mod23)(具體情況請參考同余方面的知識),右邊可以加上23的倍數(shù)(作為一個問題思考一下),比如加上8*23,則5x≡205(mod23）,兩邊同時約去5(這里5與23互質(zhì),如果不是這樣,就不可以約去),得x≡41(mod23）,從而可以令x=23k+41(k是任意整數(shù)),將其代入方程得5(23k+41)+23y=21,即23y=21-115k-205=-184-115k,故y=-8-5k.這樣就得到了通解.
注：對于一般形式的不定方程ax+by=c(其中a,b,c均為整數(shù)),若它有整數(shù)的特解
x=x0,y=y0,則其通解可表示為x=x0+bm,y=y0-am(m為任意整數(shù)).
這樣的方程叫做不定方程,它的正整數(shù)解的求法還有許多種,這里不再一一贅述.