先考察任意一個(gè)自然數(shù)n,n^2≡0或1(mod4)
則若m≥2且n≥2,則6^m≡0(mod4),2^n≡0(mod4)
6^m+2^n+2≡2(mod4)矛盾!
則m≤1或n≤1
(1)m≤1,
①m=0,則2^n+3為完全平方數(shù);
當(dāng)n≥2時(shí),2^n+3≡3(mod4)矛盾!
則n=0或1;
n=0時(shí),2^n+3=4是完全平方數(shù);
n=1時(shí),2^n+3=5不是完全平方數(shù);
②m=1,則2^n+8是完全平方數(shù)
若n≥4,2^n+8=8[2^(n-3)+1],而2^(n-3)+1為奇數(shù),顯然2^n+8中2的冪次為3,不是完全平方數(shù);
則n=0,1,2,或3
n=0,6^m+2^n+2=9滿足;
n=1,6^m+2^n+2=10不滿足;
n=2,6^m+2^n+2=12不滿足;
n=3,6^m+2^n+2=16滿足;
(2)n≤1,
①n=0,6^m+2^n+2=6^m+3
當(dāng)m≥2時(shí),6^m+2^n+2≡3(mod4)矛盾!
則m=0或1
m=0,6^m+2^n+2=4滿足；
m=1,6^m+2^n+2=9滿足；
②n=1,6^m+2^n+2=6^m+4
設(shè)6^m+4=k^2,k為自然數(shù),
6^m=(k+2)(k-2)
則可設(shè)k+2=2^s*3^t
k-2=2^p*3^q
4=2^s*3^t-2^p*3^q
s+p=t+q=m
顯然t=0或q=0
當(dāng)t=0時(shí),q=s+p,3^q=3^(s+p)≥2^(s+p）
4=2^s*3^t-2^p*3^q≤2^s-2^p*2^(s+p)≤0矛盾!
當(dāng)q=0時(shí),s+p=t=m
4=2^s*3^t-2^p*3^q
=2^s*3^(s+p)-2^p
則s=2或p=2
若s=2,4=4[(3^(p+2)-2^(p-2)]＞4(3^p-2^p)≥4矛盾!
若p=2,4=4[2^(s-2)*3^(s+2)-1]≥4(3^2-1）＞4矛盾!
綜上(m,n)=(0,0),(1,0)或(1,3)