古人計(jì)算圓周率,一般是用割圓法.即用圓的內(nèi)接或外切正多邊形來逼近圓的周長.阿基米德用正96邊形得到圓周率小數(shù)點(diǎn)后3位的精度；劉徽用正3072邊形得到5位精度；魯?shù)婪蛴谜?62邊形得到了35位精度.這種基于幾何的算法計(jì)算量大,速度慢,吃力不討好.隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展,數(shù)學(xué)家們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)研究時(shí)有意無意地發(fā)現(xiàn)了許多計(jì)算圓周率的公式.下面挑選一些經(jīng)典的常用公式加以介紹.除了這些經(jīng)典公式外,還有很多其它公式和由這些經(jīng)典公式衍生出來的公式,就不一一列舉了.
1、馬青公式
π=16arctan1/5-4arctan1/239
這個(gè)公式由英國天文學(xué)教授約翰·馬青于1706年發(fā)現(xiàn).他利用這個(gè)公式計(jì)算到了100位的圓周率.馬青公式每計(jì)算一項(xiàng)可以得到1.4位的十進(jìn)制精度.因?yàn)樗挠?jì)算過程中被乘數(shù)和被除數(shù)都不大于長整數(shù),所以可以很容易地在計(jì)算機(jī)上編程實(shí)現(xiàn).
還有很多類似于馬青公式的反正切公式.在所有這些公式中,馬青公式似乎是最快的了.雖然如此,如果要計(jì)算更多的位數(shù),比如幾千萬位,馬青公式就力不從心了.
2、拉馬努金公式
1914年,印度天才數(shù)學(xué)家拉馬努金在他的論文里發(fā)表了一系列共14條圓周率的計(jì)算公式.這個(gè)公式每計(jì)算一項(xiàng)可以得到8位的十進(jìn)制精度.1985年Gosper用這個(gè)公式計(jì)算到了圓周率的17,500,000位.
1989年,大衛(wèi)·丘德諾夫斯基和格雷高里·丘德諾夫斯基兄弟將拉馬努金公式改良,這個(gè)公式被稱為丘德諾夫斯基公式,每計(jì)算一項(xiàng)可以得到15位的十進(jìn)制精度.1994年丘德諾夫斯基兄弟利用這個(gè)公式計(jì)算到了4,044,000,000位.丘德諾夫斯基公式的另一個(gè)更方便于計(jì)算機(jī)編程的形式是：
3、AGM（Arithmetic-Geometric Mean）算法
高斯-勒讓德公式：
這個(gè)公式每迭代一次將得到雙倍的十進(jìn)制精度,比如要計(jì)算100萬位,迭代20次就夠了.1999年9月,日本的高橋大介和金田康正用這個(gè)算法計(jì)算到了圓周率的206,158,430,000位,創(chuàng)出新的世界紀(jì)錄.
4、波爾文四次迭代式：
這個(gè)公式由喬納森·波爾文和彼得·波爾文于1985年發(fā)表的.
5、bailey-borwein-plouffe算法
這個(gè)公式簡稱BBP公式,由David Bailey,Peter Borwein和Simon Plouffe于1995年共同發(fā)表.它打破了傳統(tǒng)的圓周率的算法,可以計(jì)算圓周率的任意第n位,而不用計(jì)算前面的n-1位.這為圓周率的分布式計(jì)算提供了可行性.
6、丘德諾夫斯基公式
這是由丘德諾夫斯基兄弟發(fā)現(xiàn)的,十分適合計(jì)算機(jī)編程,是目前計(jì)算機(jī)使用較快的一個(gè)公式.以下是這個(gè)公式的一個(gè)簡化版本：