負(fù)數(shù)的由來(lái)
人們?cè)谏钪薪?jīng)常會(huì)遇到各種相反意義的量.比如,在記賬時(shí)有余有虧;在計(jì)算糧倉(cāng)存米時(shí),有時(shí)要記進(jìn)糧食,有時(shí)要記出糧食.為了方便,人們就考慮了相反意義的數(shù)來(lái)表示.于是人們引入了正負(fù)數(shù)這個(gè)概念,把余錢(qián)進(jìn)糧食記為正,把虧錢(qián)、出糧食記為負(fù).可見(jiàn)正負(fù)數(shù)是生產(chǎn)實(shí)踐中產(chǎn)生的.
據(jù)史料記載,早在兩千多年前,我國(guó)就有了正負(fù)數(shù)的概念,掌握了正負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則.人們計(jì)算的時(shí)候用一些小竹棍擺出各種數(shù)字來(lái)進(jìn)行計(jì)算.比如,356擺成||| ,3056擺成等等.這些小竹棍叫做“算籌”算籌也可以用骨頭和象牙來(lái)制作.
我國(guó)三國(guó)時(shí)期的學(xué)者劉徽在建立負(fù)數(shù)的概念上有重大貢獻(xiàn).劉徽首先給出了正負(fù)數(shù)的定義,他說(shuō)：“今兩算得失相反,要令正負(fù)以名之.”意思是說(shuō),在計(jì)算過(guò)程中遇到具有相反意義的量,要用正數(shù)和負(fù)數(shù)來(lái)區(qū)分它們.
劉徽第一次給出了正負(fù)區(qū)分正負(fù)數(shù)的方法.他說(shuō)：“正算赤,負(fù)算黑；否則以邪正為異”意思是說(shuō),用紅色的小棍擺出的數(shù)表示正數(shù),用黑色的小棍擺出的數(shù)表示負(fù)數(shù)；也可以用斜擺的小棍表示負(fù)數(shù),用正擺的小棍表示正數(shù).
我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)專(zhuān)著《九章算術(shù)》（成書(shū)于公元一世紀(jì)）中,最早提出了正負(fù)數(shù)加減法的法則：“正負(fù)數(shù)曰：同名相除,異名相益,正無(wú)入負(fù)之,負(fù)無(wú)入正之；其異名相除,同名相益,正無(wú)入正之,負(fù)無(wú)入負(fù)之.”這里的“名”就是“號(hào)”,“除”就是“減”,“相益”、“相除”就是兩數(shù)的絕對(duì)值“相加”、“相減”,“無(wú)”就是“零”.
用現(xiàn)在的話說(shuō)就是：“正負(fù)數(shù)的加減法則是：同符號(hào)兩數(shù)相減,等于其絕對(duì)值相減,異號(hào)兩數(shù)相減,等于其絕對(duì)值相加.零減正數(shù)得負(fù)數(shù),零減負(fù)數(shù)得正數(shù).異號(hào)兩數(shù)相加,等于其絕對(duì)值相減,同號(hào)兩數(shù)相加,等于其絕對(duì)值相加.零加正數(shù)等于正數(shù),零加負(fù)數(shù)等于負(fù)數(shù).”
這段關(guān)于正負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則的敘述是完全正確的,與現(xiàn)在的法則完全一致!負(fù)數(shù)的引入是我國(guó)數(shù)學(xué)家杰出的貢獻(xiàn)之一.
用不同顏色的數(shù)表示正負(fù)數(shù)的習(xí)慣,一直保留到現(xiàn)在.現(xiàn)在一般用紅色表示負(fù)數(shù),報(bào)紙上登載某國(guó)經(jīng)濟(jì)上出現(xiàn)赤字,表明支出大于收入,財(cái)政上虧了錢(qián).
負(fù)數(shù)是正數(shù)的相反數(shù).在實(shí)際生活中,我們經(jīng)常用正數(shù)和負(fù)數(shù)來(lái)表示意義相反的兩個(gè)量.夏天武漢氣溫高達(dá)42°C,你會(huì)想到武漢的確象火爐,冬天哈爾濱氣溫-32°C一個(gè)負(fù)號(hào)讓你感到北方冬天的寒冷.
在現(xiàn)今的中小學(xué)教材中,負(fù)數(shù)的引入,是通過(guò)算術(shù)運(yùn)算的方法引入的：只需以一個(gè)較小的數(shù)減去一個(gè)較大的數(shù),便可以得到一個(gè)負(fù)數(shù).這種引入方法可以在某種特殊的問(wèn)題情景中給出負(fù)數(shù)的直觀理解.而在古代數(shù)學(xué)中,負(fù)數(shù)常常是在代數(shù)方程的求解過(guò)程中產(chǎn)生的.對(duì)古代巴比倫的代數(shù)研究發(fā)現(xiàn),巴比倫人在解方程中沒(méi)有提出負(fù)數(shù)根的概念,即不用或未能發(fā)現(xiàn)負(fù)數(shù)根的概念.3世紀(jì)的希臘學(xué)者丟番圖的著作中,也只給出了方程的正根.然而,在中國(guó)的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中,已較早形成負(fù)數(shù)和相關(guān)的運(yùn)算法則.
除《九章算術(shù)》定義有關(guān)正負(fù)運(yùn)算方法外,東漢末年劉烘（公元206年）、宋代揚(yáng)輝（1261年）也論及了正負(fù)數(shù)加減法則,都與九章算術(shù)所說(shuō)的完全一致.特別值得一提的是,元代朱世杰除了明確給出了正負(fù)數(shù)同號(hào)異號(hào)的加減法則外,還給出了關(guān)于正負(fù)數(shù)的乘除法則.他在算法啟蒙中,負(fù)數(shù)在國(guó)外得到認(rèn)識(shí)和被承認(rèn),較之中國(guó)要晚得多.在印度,數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多于公元628年才認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)可以是二次方程的根.而在歐洲14世紀(jì)最有成就的法國(guó)數(shù)學(xué)家丘凱把負(fù)數(shù)說(shuō)成是荒謬的數(shù).直到十七世紀(jì)荷蘭人日拉爾（1629年）才首先認(rèn)識(shí)和使用負(fù)數(shù)解決幾何問(wèn)題.
與中國(guó)古代數(shù)學(xué)家不同,西方數(shù)學(xué)家更多的是研究負(fù)數(shù)存在的合理性.16、17世紀(jì)歐洲大多數(shù)數(shù)學(xué)家不承認(rèn)負(fù)數(shù)是數(shù).帕斯卡認(rèn)為從0減去4是純粹的胡說(shuō).帕斯卡的朋友阿潤(rùn)德提出一個(gè)有趣的說(shuō)法來(lái)反對(duì)負(fù)數(shù),他說(shuō)（-1）：1=1：（-1）,那么較小的數(shù)與較大的數(shù)的比怎么能等于較大的數(shù)與較小的數(shù)比呢?直到1712年,連萊布尼茲也承認(rèn)這種說(shuō)法合理.英國(guó)數(shù)學(xué)家瓦里承認(rèn)負(fù)數(shù),同時(shí)認(rèn)為負(fù)數(shù)小于零而大于無(wú)窮大（1655年）.他對(duì)此解釋到：因?yàn)閍＞0時(shí),英國(guó)著名代數(shù)學(xué)家德·摩根 在1831年仍認(rèn)為負(fù)數(shù)是虛構(gòu)的.他用以下的例子說(shuō)明這一點(diǎn)：“父親56歲,其子29歲.問(wèn)何時(shí)父親年齡將是兒子的二倍?”他列方程56+x=2（29+x）,并解得x=-2.他稱此解是荒唐的.當(dāng)然,歐洲18世紀(jì)排斥負(fù)數(shù)的人已經(jīng)不多了.隨著19世紀(jì)整數(shù)理論基礎(chǔ)的建立,負(fù)數(shù)在邏輯上的合理性才真正建立.
無(wú)理數(shù)的由來(lái)
畢達(dá)哥拉斯 （Pythagqras,約公元前885年至公元前400年間）,從小就很聰明,一次他背著柴禾從街上走過(guò),一位長(zhǎng)者見(jiàn)他捆柴的方法與別人不同,便說(shuō)：“這孩子有數(shù)學(xué)才能,將來(lái)會(huì)成為一個(gè)大學(xué)者.”他聞聽(tīng)此言,便摔掉柴禾南渡地中海到泰勒斯門(mén)下去求學(xué).畢達(dá)哥拉斯本來(lái)就極聰明,經(jīng)泰勒一指點(diǎn),許多數(shù)學(xué)難題在他的手下便迎刃而解.其中,他證明了三角形的內(nèi)角和等于180度；能算出你若要用瓷磚鋪地,則只有用正三角、正四角、正六角三種正多角磚才能剛好將地鋪滿,還證明了世界上只有五種正多面體,即：正4、6、8、12、20面體.他還發(fā)現(xiàn)了奇數(shù)、偶數(shù)、三角數(shù)、四角數(shù)、完全數(shù)、友數(shù),直到畢達(dá)哥拉斯數(shù).然而他最偉大的成就是發(fā)現(xiàn)了后來(lái)以他的名字命名的畢達(dá)哥拉斯定理（勾股弦定理）,即：直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積之和等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積.據(jù)說(shuō),這是當(dāng)時(shí)畢達(dá)哥拉斯在寺廟里見(jiàn)工匠們用方磚鋪地,經(jīng)常要計(jì)算面積,于是便發(fā)明了此法.
畢達(dá)哥拉斯將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用得純熟之后,覺(jué)得不能只滿足于用來(lái)算題解題,于是他試著從數(shù)學(xué)領(lǐng)域擴(kuò)大到哲學(xué),用數(shù)的觀點(diǎn)去解釋一下世界.經(jīng)過(guò)一番刻苦實(shí)踐,他提出“凡物皆數(shù)”的觀點(diǎn),數(shù)的元素就是萬(wàn)物的元素,世界是由數(shù)組成的,世界上的一切沒(méi)有不可以用數(shù)來(lái)表示的,數(shù)本身就是世界的秩序.畢達(dá)哥拉斯還在自己的周?chē)⒘艘粋€(gè)青年兄弟會(huì).在他死后大約200年,他的門(mén)徒們把這種理論加以研究發(fā)展,形成了一個(gè)強(qiáng)大的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派.
一天,學(xué)派的成員們剛開(kāi)完一個(gè)學(xué)術(shù)討論會(huì),正坐著游船出來(lái)領(lǐng)略山水風(fēng)光,以驅(qū)散一天的疲勞.這天,風(fēng)和日麗,海風(fēng)輕輕的吹,蕩起層層波浪,大家心里很高興.一個(gè)滿臉胡子的學(xué)者看著遼闊的海面興奮地說(shuō)：“畢達(dá)哥拉斯先生的理論一點(diǎn)都不錯(cuò).你們看這海浪一層一層,波峰浪谷,就好像奇數(shù)、偶數(shù)相間一樣.世界就是數(shù)字的秩序.”“是的,是的.”這時(shí)一個(gè)正在搖槳的大個(gè)子插進(jìn)來(lái)說(shuō)：“就說(shuō)這小船和大海吧.用小船去量海水,肯定能得出一個(gè)精確的數(shù)字.一切事物之間都是可以用數(shù)字互相表示的.”
“我看不一定.”這時(shí)船尾的一個(gè)學(xué)者突然提問(wèn)了,他沉靜地說(shuō)：“要是量到最后,不是整數(shù)呢?”
“那就是小數(shù).”“要是小數(shù)既除不盡,又不能循環(huán)呢?”
“不可能,世界上的一切東西,都可以相互用數(shù)字直接準(zhǔn)確地表達(dá)出來(lái).”
這時(shí),那個(gè)學(xué)者以一種不想再爭(zhēng)辯的口氣冷靜地說(shuō)：“并不是世界上一切事物都可以用我們現(xiàn)在知道的數(shù)來(lái)互相表示,就以畢達(dá)哥拉斯先生研究最多的直角三角形來(lái)說(shuō)吧,假如是等腰直角三角形,你就無(wú)法用一個(gè)直角邊準(zhǔn)確地量出斜邊來(lái).”
這個(gè)提問(wèn)的學(xué)者叫希帕索斯（Hippasus),他在畢達(dá)哥拉斯學(xué)派中是一個(gè)聰明、好學(xué)、有獨(dú)立思考能力的青年數(shù)學(xué)家.今天要不是因?yàn)闋?zhēng)論,還不想發(fā)表自己這個(gè)新見(jiàn)解呢.那個(gè)搖槳的大個(gè)子一聽(tīng)這話就停下手來(lái)大叫著：“不可能,先生的理論置之四海皆準(zhǔn).”希帕索斯眨了眨聰明的大眼,伸出兩手,用兩個(gè)虎口比成一個(gè)等腰直角三角形說(shuō)：
“如果直邊是3,斜邊是幾?”
“4.”
“再準(zhǔn)確些?”
“4.2.”
“再準(zhǔn)確些?”
“4.24.”
“再準(zhǔn)確些呢?”
大個(gè)子的臉漲得緋紅,一時(shí)答不上來(lái).希帕索斯說(shuō)：“你就再往后數(shù)上10位、20位也不能算是最精確的.我演算了很多次,任何等腰直角三角形的一邊與余邊,都不能用一個(gè)精確的數(shù)字表示出來(lái).”這話像一聲晴天霹靂,全船立即響起一陣怒吼：“你敢違背畢達(dá)哥拉斯先生的理論,敢破壞我們學(xué)派的信條!敢不相信數(shù)字就是世界!”希帕索斯這時(shí)十分冷靜,他說(shuō)：“我這是個(gè)新的發(fā)現(xiàn),就是畢達(dá)哥拉斯先生在世也會(huì)獎(jiǎng)賞我的.你們可以隨時(shí)去驗(yàn)證.”可是人們不聽(tīng)他的解釋,憤怒地喊著：“叛逆!先生的不肖門(mén)徒.”“打死他!批死他!”大胡子沖上來(lái),當(dāng)胸給了他一拳.希帕索斯抗議著：“你們無(wú)視科學(xué),你們竟這樣無(wú)理!”“捍衛(wèi)學(xué)派的信條永遠(yuǎn)有理.”這時(shí)大個(gè)子也沖了過(guò)來(lái),猛地將他抱起：“我們給你一個(gè)最高的獎(jiǎng)賞吧!”說(shuō)著就把希帕索斯扔進(jìn)了海里.藍(lán)色的海水很快淹沒(méi)了他的軀體,再也沒(méi)有出來(lái).這時(shí),天空飄過(guò)幾朵白云,海面掠過(guò)幾只水鳥(niǎo),一場(chǎng)風(fēng)波過(guò)后,這地中海海濱又顯得那樣寧?kù)o了.
一位很有才華的數(shù)學(xué)家就這樣被奴隸專(zhuān)制制度的學(xué)閥們毀滅了.但是這倒真使人們看清了希帕索斯的思想價(jià)值.這次事件后,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的成員們確實(shí)發(fā)現(xiàn)不但等腰直角三角形的直角邊無(wú)法去量準(zhǔn)斜邊,而且圓的直徑也無(wú)法去量盡圓周,那個(gè)數(shù)字是3.1415926535897932384626……更是永遠(yuǎn)也無(wú)法精確.慢慢地,他們感覺(jué)后悔了,后悔殺死希帕索斯的無(wú)理行動(dòng).他們漸漸明白了,明白了直覺(jué)并不是絕對(duì)可靠的,有的東西必須靠科學(xué)的證明；他們明白了,過(guò)去他們所認(rèn)識(shí)的數(shù)字“0”,自然數(shù)等有理數(shù)之外,還有一些無(wú)限的不能循環(huán)的小數(shù),這確實(shí)是一種新發(fā)現(xiàn)的數(shù)——應(yīng)該叫它“無(wú)理數(shù)”.這個(gè)名字反映了數(shù)學(xué)的本來(lái)面貌,但也真實(shí)的記錄了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派中學(xué)閥的蠻橫無(wú)理.
由無(wú)理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì).1872年,德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā),用有理數(shù)的“分割”來(lái)定義無(wú)理數(shù),并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上,從而結(jié)束了無(wú)理數(shù)被認(rèn)為“無(wú)理”的時(shí)代,也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).