在日常的統(tǒng)計分析中,標準差和標準誤是一對十分重要的統(tǒng)計量,兩者有區(qū)別也有聯(lián)系.但是很多人卻沒有弄清其中的差異,經(jīng)常性地進行一些錯誤的使用.對于標準差與標準誤的區(qū)別,很多書上這樣表達：標準差表示數(shù)據(jù)的離散程度,標準誤表示抽樣誤差的大小.這樣的解釋可能對于許多人來說等于沒有解釋.
其實這兩者的區(qū)別可以采用數(shù)據(jù)分布表達方式描述如下：如果樣本服從均值為μ,標準差為δ的正態(tài)分布,即X～N(μ, δ2),那么樣本均值服從均值為0,標準差為δ2/n的正態(tài)分布,即～ N(μ,δ2/n).這里δ為標準差,δ/n1/2為標準誤.明白了吧,用統(tǒng)計學(xué)的方法解釋起來就是這么簡單.
可是,實際使用中總體參數(shù)往往未知,多數(shù)情況下用樣本統(tǒng)計量來表示.那么,關(guān)于這兩者的區(qū)別可以這樣表述：標準差是樣本數(shù)據(jù)方差的平方根,它衡量的是樣本數(shù)據(jù)的離散程度；標準誤是樣本均值的標準差,衡量的是樣本均值的離散程度.而在實際的抽樣中,習(xí)慣用樣本均值來推斷總體均值,那么樣本均值的離散程度（標準誤）越大,抽樣誤差就越大.所以用標準誤來衡量抽樣誤差的大小.
在此舉一個例子.比如,某學(xué)校共有500名學(xué)生,現(xiàn)在要通過抽取樣本量為30的一個樣本,來推斷學(xué)生的數(shù)學(xué)成績.這時可以依據(jù)抽取的樣本信息,計算出樣本的均值與標準差.如果我們抽取的不是一個樣本,而是10個樣本,每個樣本30人,那么每個樣本都可以計算出均值,這樣就會有10個均值.也就是形成了一個10個數(shù)字的數(shù)列,然后計算這10個數(shù)字的標準差,此時的標準差就是標準誤.但是,在實際抽樣中我們不可能抽取10個樣本.所以,標準誤就由樣本標準差除以樣本量來表示.當然,這樣的結(jié)論也不是隨心所欲,而是經(jīng)過了統(tǒng)計學(xué)家的嚴密證明的.
在實際的應(yīng)用中,標準差主要有兩點作用,一是用來對樣本進行標準化處理,即樣本觀察值減去樣本均值,然后除以標準差,這樣就變成了標準正態(tài)分布；而是通過標準差來確定異常值,常用的方法就是樣本均值加減n倍的標準差.標準誤的作用主要是用來做區(qū)間估計,常用的估計區(qū)間是均值加減n倍的標準誤.