已知二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為a,且不等式f(x)>2X的解集為(1,3).
(1)若方程f(x)+6a=0有兩個相等的實根,求f(x)的解析式；
(2)若函數(shù)f(x)的最大值不小于8,求實數(shù)a的取值范圍.
設f(x)=ax^2+bx+c
不等式f(x)＞2X的解集為(1,3)
ax^2+bx+c＞2x
ax^2+(b-2)x+c＞0
設g(x)=ax^2+(b-2)x+c
不等式f(x)＞2X的解集為(1,3),相當于g(x)=ax^2+(b-2)x+c開口向下,與x軸有兩個交點將x1=1,x2=3代入ax^2+(b-2)x+c=0,得：
a*1+(b-2)*1+c=0
a*3^2+(b-2)*3+c=0
解得：b=2-4a,c=3a,代入原函數(shù)時得：
f(x)=ax^2+(2-4a)x+3a=0
(1)若方程f(x)+6a=0有兩個相等的實根
即：ax^2+(2-4a)x+9a=0有兩個相等的實根
判別式△=(2-4a)^2-4*a*9a=0,解得a=-1,a=1/5
函數(shù)開口向下,故a＜0,所以a=1/5不合題意,舍去.
所以a=-1,故函數(shù)解析式為：
f(x=-x^2+6x-3
(2)若函數(shù)f(x)的最大值不小于8
根據(jù)公式(4ac-b^2)/(4a)≥8,即：
[4*a*9a-(2-4a)^2]/(4a)≥8
函數(shù)開口向下,a＜0,兩邊同乘4a得：
4*a*9a-(2-4a)^2≤8*4a,化簡得：
(5a+1)(a-1)≤0,解得：
-1/5≤a≤1
而函數(shù)開口向下的前提是a＜0,所以：
-1/5≤a＜0