1.n=1時(shí),
1³=1²(1+1)²/4=1²成立
2.設(shè)n=k時(shí)成立,即1³+2³+3³...+k³=k²(k+1)²/4=（1+2+3+...+k)²
則n=k+1時(shí)
1³+2³+3³...+k³+(k+1)³=k²(k+1)²/4+(k+1)³
=(k²+4k+4)(k+1)²/4=(k+1+1)²(k+1)²/4
成立
1³+2³+3³...+k³+(k+1)³=（1+2+3+...+k)²+(k+1)³
=（1+2+3+...+k)²+(k+1)²+(k+1)³-(k+1)²
=（1+2+3+...+k)²+(k+1)²+k(k+1)²
=（1+2+3+...+k)²+(k+1)²+k(k+1)(k+1) [由于1+2+3+...+k=k(k+1)/2,所以可得下一步]
=（1+2+3+...+k)²+(k+1)²+2(1+2+3+...+k)(k+1)
=(1+2+3+...+k+ k+1 )²
也成立
所以……n=k成立時(shí)n=k+1也成立,由1、2兩步遞歸可知
1³+2³+3³...+n³=n²(n+1)²/4=（1+2+3+...+n)² .（n是正整數(shù)）