[-x*cos(x+y)]' = x*sin(x+y) - cos(x+y)
x*sin(x+y) = cos(x+y) - [x*cos(x+y)]'
以上是對 x 求導(dǎo) 的結(jié)果.把y暫看作常數(shù).
二重積分,可以先把y看作常數(shù),對x進行積分.然后再對y積分.
∫∫xysin(x+y) dxdy
= ∫y [∫xsin(x+y) dx] dy
= ∫y {∫cos(x+y) - [x*cos(x+y)]' dx } dy
= ∫y [∫cos(x+y) dx] dy - ∫y ∫[x*cos(x+y)]' dx dy
= ∫y sin(x+y) dy - ∫xycos(x+y) dy
對于其中第一項,仍然采用分部積分法
∫y sin(x+y) dy
= ∫ {cos(x+y) - [y*cos(x+y)]' } dy
= sin(x+y) - y*cos(x+y)
對于第二項
∫xycos(x+y) dy
= x∫ycos(x+y) dy
= x ∫ {[ysin(x+y)]' - sin(x+y) } dy
= xysin(x+y) + xcos(x+y)
因此 原二重積分結(jié)果為
sin(x+y) - y*cos(x+y) - xysin(x+y) - xcos(x+y)
= (1 -xy)sin(x+y) - (x+y) cos(x+y)
（經(jīng)對x和y求導(dǎo)檢驗后,上述結(jié)果正確）
以下限代入
= (1 - 0)*sin0 - (0+0)cos0
= 0
以上限 x+y=π/2 代入
= 1 - xy
= 1 - x(π/2 - x)
= 1 - πx/2 + x^2
其中 x ∈[0,π/2]
上限 為 x+y = π/2.但 x 和y 本身并非定值.這導(dǎo)致了積分結(jié)果依然是一個函數(shù).