利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分,有公式
∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ ,其中積分區(qū)域是一樣的.
I=∫dx∫(x^2+y^2)^-1/2 dy
x的積分上限是1,下限0
y的積分上限是x,下限是x²
積分區(qū)域D即為直線y=x,和直線y=x²在區(qū)間[0,1]所圍成的面積,轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)后,θ的范圍為[0,π/4],下面計(jì)算r的范圍：
因?yàn)閥=x²的極坐標(biāo)方程為：rsinθ=r²cos²θ r=sinθ/cos²θ
因?yàn)橹本€y=kx和曲線y=x²的交點(diǎn)為(0,0),(k,k²),所以在極坐標(biāo)中r的取值范圍為[0,sinθ/cos²θ],則積分I化為極坐標(biāo)的積分為
I＝∫dθ∫1/√(rcosθ)²+(rsinθ)²rdr
=∫dθ∫dr (θ范圍[0,π/4],r范圍[0,sinθ/cos²θ])
=∫(sinθ/cos²θ)dθ(θ范圍[0,π/4])
=∫(-1/cos²θ)dcosθ
=|1/cosθ|(θ范圍[0,π/4])
=1/cos(π/4)-1/cos0
=√2-1