一個(gè)整數(shù)的平方被4除余數(shù)一定是0或者1.事實(shí)上,如果整數(shù)x是偶數(shù),那么顯然x^2可以被4整除；如果x是奇數(shù),則存在整數(shù)k使得 x=2k+1,因此 x^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1 被4除余1,這也就是一個(gè)整數(shù)的平方被4除余數(shù)一定是0或1.
現(xiàn)在 x^2+y^2=2008,因?yàn)?008能被4整除,所以x,y均為偶數(shù)(否則比較等式兩邊被4除的余數(shù)即得矛盾),這樣可以設(shè)
x=2m,y=2n,m,n均為正整數(shù).此時(shí)原方程化為 (2m)^2+(2n)^2=2008,兩邊約去4即得：m^2+n^2=251 (1)
但是251被4除余數(shù)是3,同樣的方法進(jìn)行討論可知兩個(gè)正整數(shù)的平方和被4除的余數(shù)只能為 0,1 或者2,因此等式兩邊被4除的余數(shù)不等,故不存在這樣的整數(shù)m,n使得方程(1)成立,從而原方程也不存在正整數(shù)解.