首先用等差求和公式求出分母來,就是(2+n)*n/2,然后每一項就是2/(1+n)*n,此項可以寫成2/n - 2/(1+n),那么把每一項都分開就只剩下第一項和最后一項,結果就是2-2/101=200/101
1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+...+1/(1+2+3+...+100)
=2/(1*2)+2/(2*3)+2/(3*4)+2/(4*5)+...+2/(100*101)
=(2/1-1/2)+(2/2-2/3)+(2/3-2/4)+(2/4-2/5)+...+(2/100-2/101)
=2/1-2/101
=200/101
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或者

設an=1/(1+2+…+n),n為正整數
又1+2+…+n=n*(n+1)/2
所以,an=1/(1+2+…+n)= 2/ n*(n+1)=2*（1/n－1/(n+1)）
因此
1+1/(1+2)+ 1/(1+2+3) +…+1/(1+2+…+100)
= a1 +a2 +…+a100
=2*（1/1－1/(1+1)）+2*（1/2－1/(2+1)）+…+2*（1/100－1/(100+1)）
整理
=2*（1－1/2+1/2－1/3+…+1/100－1/101）
=2*（1－1/101）
=200/101