兩個(gè)問(wèn)題實(shí)際上是同一個(gè)問(wèn)題.想等價(jià)替換,必須滿足條件：
是以因子形式出項(xiàng)的量,注意,是相對(duì)整個(gè)表達(dá)式是以因子形式出現(xiàn)的,
而不是單獨(dú)的一部分是因子形式的.
比如第一題,1－cosx在第一部分中是因子,但相對(duì)整個(gè)表達(dá)式不是因子,
因此不能等價(jià)替換.當(dāng)然,如果寫(xiě)成
lim 1/(1－cosx)+lim 1/tanx,1－cosx是以因子出現(xiàn)的,可以替換.
當(dāng)然,這樣做是不對(duì)的,原因是不能寫(xiě)成上面這種形式.
正確做法是先通分,再用洛必達(dá)法則或Taylor展式.
第二題類(lèi)似,(1+1/x)^x相對(duì)整個(gè)表達(dá)式不是因子,因此不能等價(jià)替換.
正確做法是：先取對(duì)數(shù),然后用洛必達(dá)法則或Taylor展式,建議用
Taylor展式.取對(duì)數(shù)后,
lim x*(1－xln(1+1/x))
＝lim x*(1－x【1/x－1/(2x^2)+小o(1/x^2)】)
＝lim x*(1/2x+小o(1/x))
＝1/2,
因此原極限是e^(1/2).我還有兩個(gè)疑問(wèn)哦~ 1.lim 1/(1－cosx)+lim 1/tanx，1－cosx是以因子出現(xiàn)的，可以替換。當(dāng)然，這樣做是不對(duì)的，原因是不能寫(xiě)成上面這種形式。請(qǐng)問(wèn)為什么不能寫(xiě)成這種形式呢？limf（x）+g（x）不是等于lim f（x）+ lim g（x）嗎？ 2.第二題中的并非是等價(jià)無(wú)窮小替換，而是兩個(gè)重要極限之一lim（x趨近無(wú)窮大）(1+1/x)^x=e，這也不行嗎？ 謝謝你~1、lim f(x)+g(x)=lim f(x)+lim g(x)有前提，條件是lim f(x)和lim g(x)都存在才行。本題不滿足。2、不行。只要不是因子的就不行。