不知道你五次是怎么算的,是甲倒入乙算一次還是甲倒入乙,再從乙倒入甲算一次.下面按后者算,簡稱為偶數(shù)次情況,前者比較簡單,自己類推.

甲杯是乙杯的2倍,而且每次倒都是使另一者加倍,因此將水,果汁分開看,還是比較簡單的,畫個示意圖給你看下.

用a,b,c,d分別表示甲水,甲果汁,乙水,乙果汁

那么甲倒入乙,有：a(n+1)=1/2an  

                                b(n+1)=1/2bn  

                                c(n+1)=a（n+1）+cn 

                                d(n+1)=b(n+1)+dn

乙倒入甲,有： c(n+2)=1/2c(n+1)

                          d(n+2)=1/2d(n+1)

                          a(n+2)=a(n+1)+c(n+2)

                          b(n+2)=b(n+1)+d(n+2)

聯(lián)立上面的8個,可以得到： a（n+2）=3/4an+1/2cn

                                              b（n+2）=3/4bn+1/2dn

                                              c（n+2）=1/2cn+1/4an

                                              d（n+2）=1/2dn+1/4bn

n=2k   k∈N   我前面所說的次數(shù)的區(qū)別了就體現(xiàn)在這里

要求的是最后乙杯里果汁占果汁水,所以只看b,d兩類,其它有興趣自己研究

對于任何情況,有          bn+dn=1/2（an+cn）=常數(shù)C  就是水是果汁的兩倍

對于偶數(shù)次情況,有       cn+dn=1/2（an+bn）=常數(shù)C  就是甲杯的量是乙杯的兩倍,C也相當于剛開始乙杯的量.

     d（n+2）=1/2dn+1/4bn

                    =1/4dn+1/4dn+1/4bn

                    =1/4dn+1/4C

                    =1/4（dn+C）

于是有    d（n+2）-1/3C= 1/4(dn-1/3C)

d(n+2)-1/3C是公比為1/4的等比數(shù)列,可求得

d(n)-1/3C=（d0-1/3C）*（1/4）^(n)    因為是從d0開始的,所以指數(shù)為n而不是n-1,為了下文的美觀

d0=C 于是有

d(n)=1/3C+2/3C*（1/4）^(n)    n∈N   

乙杯里果汁占果汁水的?我也不清楚你要求什么,按照乙杯里果汁占乙杯總液體量來求,設為X,

即 X= d（n）/（d（n）+c（n））

      =d（n）/C 

令 n= 5 可得 X=513/1536

也可以從式子中看出是趨于混合均勻的1/3的

lim（n→∞）X=1/3

當然有簡單的方法,發(fā)現(xiàn)講得太詳細了太長了.捂臉閃人~~~