不等式的證明
1.比較法
作差作商后的式子變形,判斷正負或與1比較大小
作差比較法-----要證明a>b,只要證明a-b>0.
作商比較法---已知a,b都是正數(shù),要證明a>b,只要證明a/b>1
例1 求證:x2+3>3x
證明:∵(x2+3)-3x=x2-3x+()2-()2+3
=+≥>0
∴ x2+3>3x
例2 已知a,b R+,并且a≠b,求證
a5+b5>a3b2+a2b3
證明:(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5)
=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)
=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)
∵ a,b R+
∴ a+b>0,a2+ab+b2>0
又因為a≠b,所以(a-b)2>0
∴ (a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0
即 (a5+b5)-(a3b2+a2b3)>0
∴ a5+b5>a3b2+a2b3
例3 已知a,b R+,求證:aabb≥abba
證明:=
∵a,b R+,當(dāng)a>b時,>1,a-b>0,>1;
當(dāng)a≤b時,≤1,a-b≤0,≥1.
∴ ≥1,即aabb≥abba
綜合法
了解算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的概念,能用平均不等式證明其它一些不等式
定理1 如果a,b R,那么a2+b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取"="號)
證明:a2+b2-2ab=(a-b)2≥0
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.所以
a2+b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號).
定理2 如果a,b,c R+,那么a3+b3+c3≥3abc(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取"="號)
證明:∵a3+b3+c3-3abc
=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)
=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0
∴ a3+b3+c3≥3abc,
很明顯,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號.
例1 已知a,b,c是不全等的正數(shù),求證
a(a2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)>6abc.
放縮法
這也是分析法的一種特殊情況,它的根據(jù)是不等式的傳遞性—
a≤b,b≤c,則a≤c,只要證明"大于或等于a的"b≤c就行了.
例,證明當(dāng)k是大于1的整數(shù)時,
我們可以用放縮法的一支——"逐步放大法",證明如下:
分析法
從要證明的不等式出發(fā),尋找使這個不等式成立的某一"充分的"條件,為此逐步往前追溯(執(zhí)果索因),一直追溯到已知條件或一些真命題為止.例如要證a2+b2≥2ab我們通過分析知道,使a2+b2≥2ab成立的某一"充分的"條件是a2-2ab+b2≥0,即(a-b)2≥0就行了.由于是真命題,所以a2+b2≥2ab成立.分析法的證明過程表現(xiàn)為一連串的"要證……,只要證……",最后推至已知條件或真命題
例 求證:
證明:
構(gòu)造圖形證明不等式
例:已知a,b,c都是正數(shù),求證:
+>
分析與證明:觀察原不等式中含有a2+ab+b2即a2+b2+ab的形式,聯(lián)想到余弦定理:c2=a2+b2-2ab CosC,為了得到a2+b2+ab的形式,只要C=120°,
這樣:可以看成a,b為鄰邊,夾角為120°的的三角形的第三邊
可以看成b,c為鄰邊,夾角為120°的的三角形的第三邊
可以看成a,c為鄰邊,夾角為120°的的三角形的第三邊
構(gòu)造圖形如下,
AB=,
BC=,
AC=
顯然AB+BC>AC,故原不等式成立.
數(shù)形結(jié)合法
數(shù)形結(jié)合是指通過數(shù)與形之間的對應(yīng)轉(zhuǎn)化來解決問題.數(shù)量關(guān)系如果借助于圖形性質(zhì),可以使許多抽象概念和關(guān)系直觀而形象,有利于解題途徑的探求,這通常為以形助數(shù);而有些涉及圖形的問題如能轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究,又可獲得簡捷而一般化的解法,即所謂的以數(shù)解形.數(shù)形結(jié)合的思想,其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來,使抽象思維和形象思維結(jié)合,通過對圖形的認識,數(shù)形的轉(zhuǎn)化,可以培養(yǎng)思維的靈活性,形象性.通過數(shù)形結(jié)合,可以使復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化.
例.證明,當(dāng)x>5時,≤x-2
令y1=,y2=x-2,從而原不等式的解集就是使函數(shù)y1>y2的x的取值范圍.在同一坐標(biāo)系中分別作出兩個函數(shù)的圖象.設(shè)它們交點的橫坐標(biāo)是x0,則=x0-2>0.解之,得x0=5或x0=1(舍).根據(jù)圖形,很顯然成立.
反證法
先假定要證不等式的反面成立,然后推出與已知條件(或已知真命題)和矛盾的結(jié)論,從而斷定反證假定錯誤,因而要證不等式成立.
窮舉法
對要證不等式按已知條件分成各種情況,加以證明(防止重復(fù)或遺漏某一可能情況).
注意:在證明不等式時,應(yīng)靈活運用上述方法,并可通過運用多種方法來提高自己的思維能力.