【遺產(chǎn)分配問題】（羅馬）有一位寡婦要把前夫的遺產(chǎn)3500元與自己的子女拆分.根據(jù)當時的法律規(guī)定,如果只有一個兒子,母親可得到兒子應得部分的一半；如果只有一個女兒,母親可得到相當于女兒2倍的遺產(chǎn).可她生的是孿生兒女,有男孩也有女孩,根據(jù)當時的法律,應當怎樣分這筆遺產(chǎn)呢?
【解答】設母親、兒子、女兒分得的遺產(chǎn)分別為X、Y、Z,依題意有
X＋Y＋Z=3500 ①
X=1/2Y ②
X=2Z ③
由②得Y=2X④,由③得Z=1/2X⑤,將④⑤代入①得,X=1000,代入④得,Y=2000,代入⑤得,Z=500.因此,母親、兒子、女兒分得的遺產(chǎn)分別為1000元,2000元,500元.
【圣誕火雞問題】(美國)西方人把圣誕節(jié)視為他們最重要的節(jié)日.圣誕節(jié)前,約翰、彼得和羅伯一早就到了市場去賣他們飼養(yǎng)的火雞.這些火雞重量相差無幾,因此就論只來賣.其中約翰有10只,彼得有16只,羅伯有26只.早上三人賣價相同.中午飯后,由于三人都沒賣完,又要趕在天黑前回家,只好降價出售,但三人的賣價仍然相同.黃昏時,他們的火雞全部賣完.當清點錢時,他們驚奇地發(fā)現(xiàn)每個人都得到56英鎊.想想看,為什么?他們上、下午的售價各是多少?每人上、下午各售出多少只火雞?
【解答】若假設約翰、彼得和羅伯上午賣出x,y,z只火雞,那么下午各賣出10－x,16－y,26－z只火雞.又若設上午售價為每只a英鎊,下午售價為每只b英鎊.由題意可得如下方程組：
ax＋b（10－x）=56 ①
ay＋b（16－y）=56 ②
az＋b（26－z）=56 ③
這是一個含有5個未知數(shù)卻只有3個方程的不定方程組.
①－③得（x－z）（a－b）=16b,④
②－③得（y－z）（a－b）=10b,⑤
④÷⑤得(x-z)/(y-z)=8/5,即5x＋3z=8y.⑥
由題目條件知,0＜x＜10,0＜y＜16,0＜z＜26,經(jīng)過代入⑥檢驗可找出,只有x=9,y=6,z=1是唯一的一組解,再把x,y,z的值代入①、②可算出a=6,b=2.因此上午售價為每只6英鎊,下午每只2英鎊.約翰、彼得和羅伯上午各賣出9,6,1只火雞,下午各賣出1,10,25只火雞.
孫臏,龐涓都是鬼谷子的徒弟.一天鬼谷子出了這道題目：
他從2到99中選出兩個不同的整數(shù),把積告訴孫,把和告訴龐；
龐說：我雖然不能確定這兩個數(shù)是什么,但是我肯定你也不知道這兩個數(shù)是什么.
孫說：我本來的確不知道,但是聽你這么一說,我現(xiàn)在能夠確定這兩個數(shù)字了.
龐說：既然你這么說,我現(xiàn)在也知道這兩個數(shù)字是什么了.
因龐涓肯定兩數(shù)不會都是質(zhì)數(shù),所以兩數(shù)和不會是偶數(shù),否則由小數(shù)的Goldbach猜想,小偶數(shù)必能分成兩奇質(zhì)數(shù)之和,龐涓便不能確定孫臏不知答案了.所以兩數(shù)和應是奇數(shù).此外,這兩數(shù)也不會是2及一個奇質(zhì)數(shù).
孫臏從龐涓的說話,可知道兩數(shù)一奇一偶.孫臏所知道的兩數(shù)積,應為2^a.b的形式,其中a>0,b是奇數(shù).如b可分解成b=cd,c>1,d>1,則答案可能是(2^a,b),(2^a.c,d)或(2^a.d,c),便仍未知答案,故此b為質(zhì)數(shù).但由上面龐涓的說話,a>1.
龐涓從孫臏的說話后,若兩數(shù)和表示成2^a+b的形式是唯一,便也能得知答案.
以上推理其實并不全面,但已能得到多于一組答案.例子如下:
(4,13)
龐涓知x+y=17,x及y不能都是質(zhì)數(shù).
孫臏知xy=52,未聽龐涓說話前,(x,y)可能是(2,26),(4,13).但現(xiàn)在知一奇一偶,只能是(4,13).
龐涓知(x,y)不會是(2,15)[因30=2*15=6*5=10*3],不會是(6,11)[因66=2*33=6*11=22*3],不會是(8,9)[因72=8*9=24*3],不會是(10,7)[因70=2*35=10*7=14*5],不會是(12,5)[因60=4*15=12*5=20*3],不會是(14,3)[因42=2*21=6*7=14*3],只有(4,13)孫臏才肯定知答案.
但還有其它可能,如
(16,13) 龐涓知29,孫臏知208
(4,37) 龐涓知41,孫臏知148
(16,37) 龐涓知53,孫臏知592
(16,43) 龐涓知59,孫臏知688