要排順序的就是排列,不用排順序的就是組合
全排列就是所有的數(shù)都要排順序,除掉一些是因?yàn)槟男┦莻€(gè)別要特殊對(duì)待.
經(jīng)典題型：(弄懂就差不多會(huì)了)
1.某人手中有5張撲克牌,其中2張為不同花色的2,3張為不同花色的A,有5次出牌機(jī)會(huì),每次只能出一種點(diǎn)數(shù)的牌但張數(shù)不限,此人有多少種不同的出牌方法?
.出牌的方法可分為以下幾類：
(1)5張牌全部分開(kāi)出,有A 種方法；
(2)2張2一起出,3張A一起出,有A 種方法；
(3)2張2一起出,3張A一起出,有A 種方法；
(4)2張2一起出,3張A分兩次出,有C A 種方法；
(5)2張2分開(kāi)出,3張A一起出,有A 種方法；
(6)2張2分開(kāi)出,3張A分兩次出,有C A 種方法.
因此,共有不同的出牌方法A +A +A +A A +A +C A =860種.
2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù)a、b、c,在集合{－3,－2,－1,0,1,2,3,4}中選取3個(gè)不同的值,則可確定坐標(biāo)原點(diǎn)在拋物線內(nèi)部的拋物線多少條?
由圖形特征分析,a＞0,開(kāi)口向上,坐標(biāo)原點(diǎn)在內(nèi)部 f(0)=c＜0;a＜0,開(kāi)口向下,原點(diǎn)在內(nèi)部 f(0)=c＞0,所以對(duì)于拋物線y=ax2+bx+c來(lái)講,原點(diǎn)在其內(nèi)部 af(0)=ac＜0,則確定拋物線時(shí),可先定一正一負(fù)的a和c,再確定b,故滿足題設(shè)的拋物線共有C C A A =144條.
3.有3名男生,4名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法總數(shù).
(1)全體排成一行,其中甲只能在中間或者兩邊位置.
(2)全體排成一行,其中甲不在最左邊,乙不在最右邊.
(3)全體排成一行,其中男生必須排在一起.
(4)全體排成一行,男、女各不相鄰.
(5)全體排成一行,男生不能排在一起.
(6)全體排成一行,其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變.
(7)排成前后二排,前排3人,后排4人.
(8)全體排成一行,甲、乙兩人中間必須有3人.
(1)利用元素分析法,甲為特殊元素,故先安排甲左、右、中共三個(gè)位置可供甲選擇.有A 種,其余6人全排列,有A 種.由乘法原理得A A =2160種.
(2)位置分析法.先排最右邊,除去甲外,有A 種,余下的6個(gè)位置全排有A 種,但應(yīng)剔除乙在最右邊的排法數(shù)A A 種.則符合條件的排法共有A A －A A =3720種.
(3)捆綁法.將男生看成一個(gè)整體,進(jìn)行全排列.再與其他元素進(jìn)行全排列.共有A A =720種.
(4)插空法.先排好男生,然后將女生插入其中的四個(gè)空位,共有A A =144種.
(5)插空法.先排女生,然后在空位中插入男生,共有A A =1440種.
(6)定序排列.第一步,設(shè)固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數(shù)為N,第二步,對(duì)甲、乙、丙進(jìn)行全排列,則為七個(gè)人的全排列,因此A =N×A ,∴N= = 840種.?
(7)與無(wú)任何限制的排列相同,有A =5040種.
(8)從除甲、乙以外的5人中選3人排在甲、乙中間的排法有A 種,甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相鄰的排法有A A .最后再把選出的3人的排列插入到甲、乙之間即可.共有A ×A ×A =720種.
4.20個(gè)不加區(qū)別的小球放入編號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒子中,要求每個(gè)盒內(nèi)的球數(shù)不小于它的編號(hào)數(shù),求不同的放法種數(shù).
首先按每個(gè)盒子的編號(hào)放入1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)小球,然后將剩余的14個(gè)小球排成一排,如圖,|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|,有15個(gè)空檔,其中“O”表示小球,“|”表示空檔.將求小球裝入盒中的方案數(shù),可轉(zhuǎn)化為將三個(gè)小盒插入15個(gè)空檔的排列數(shù).對(duì)應(yīng)關(guān)系是：以插入兩個(gè)空檔的小盒之間的“O”個(gè)數(shù),表示右側(cè)空檔上的小盒所裝有小球數(shù).最左側(cè)的空檔可以同時(shí)插入兩個(gè)小盒.而其余空檔只可插入一個(gè)小盒,最右側(cè)空檔必插入小盒,于是,若有兩個(gè)小盒插入最左側(cè)空檔,有C 種；若恰有一個(gè)小盒插入最左側(cè)空檔,有 種；若沒(méi)有小盒插入最左側(cè)空檔,有C 種.由加法原理,有N= =120種排列方案,即有120種放法.
5.甲、乙、丙三人值周一至周六的班,每人值兩天班,若甲不值周一、乙不值周六,則可排出不同的值班表數(shù)為多少?
每人隨意值兩天,共有C C C 個(gè)；甲必值周一,有C C C 個(gè)；乙必值周六,有C C C 個(gè)；甲必值周一且乙必值周六,有C C C 個(gè).所以每人值兩天,且甲必不值周一、乙必不值周六的值班表數(shù),有N=C C C －2C C C + C C C =90－2×5×6+12=42個(gè).
6.從集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3個(gè)元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A、B、C,所得的經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有_________條(用數(shù)值表示).
解析：因?yàn)橹本€過(guò)原點(diǎn),所以C=0,從1,2,3,5,7,11這6個(gè)數(shù)中任取2個(gè)作為A、B兩數(shù)的順序不同,表示的直線不同,所以直線的條數(shù)為A =30.
7.圓周上有2n個(gè)等分點(diǎn)(n＞1),以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)________.
解析：2n個(gè)等分點(diǎn)可作出n條直徑,從中任選一條直徑共有C 種方法；再?gòu)囊韵碌?2n－2)個(gè)等分點(diǎn)中任選一個(gè)點(diǎn),共有C 種方法,根據(jù)乘法原理：直角三角形的個(gè)數(shù)為：C •C =2n(n－1)個(gè).