這是我想的一個(gè)簡(jiǎn)單一點(diǎn)的證法：
1.先證正數(shù)的算術(shù)平均大于等于幾何平均：
對(duì)(x1+x2+…+xn)/n,如果x1,x2,…,xn都相等,那么它們的算術(shù)平均等于它們的幾何平均.
如果x1,x2,…,xn不全相等,那么肯定有一個(gè)xi>(x1+x2+…+xn)/n,有一個(gè)xj(x1+x2+…+xn)/n-xj,那么把xi換成xi'=xi+xj-(x1+x2+…+xn)/n,把xj換成
xj'=(x1+x2+…+xn)/n；
(2)若xi-(x1+x2+…+xn)/nxixj.事實(shí)上,令xi+xj=xi'+xj'=2t,xi-xj=2u,xi'-xj'=2v.顯然,對(duì)情況(1)(2)(3)都有u>v,所以xi'xj'=(t+v)(t-v)=t^2-v^2>t^2-u^2=(t+u)(t-u)=xixj.
因此,每次操作后算術(shù)平均不變,幾何平均增大.但是,有限次操作后x1,x2,…,xn都相等.此時(shí),算術(shù)平均等于幾何平均,而幾何平均比原來(lái)的幾何平均大,于是算術(shù)平均大于等于幾何平均.
2.下證調(diào)和平均小于等于幾何平均：
由1,(1/x1+1/x2+.1/xn)/n≥1/(x1x2…xn)^(1/n)
兩邊倒數(shù),得：n/(1/x1+1/x2+.1/xn)≤(x1x2…xn)^(1/n)
證畢.
還有,樓上是錯(cuò)的,算術(shù)平均≥幾何平均