質數(shù)
什么是質數(shù)?就是在所有比1大的整數(shù)中,除了1和它本身以外,不再有別的約數(shù),這種整數(shù)叫做質數(shù),質數(shù)又叫做素數(shù).這終規(guī)只是文字上的解釋而已.能不能有一個代數(shù)式,規(guī)定用字母表示的那個數(shù)為規(guī)定的任何值時,所代入的代數(shù)式的值都是質數(shù)呢?
質數(shù)的分布是沒有規(guī)律的,往往讓人莫名其妙.如：101、401、601、701都是質數(shù),但上下面的301（7*43）和901（17*53）卻是合數(shù).
有人做過這樣的驗算：1^2+1+41=43,2^2+2+41=47,3^2+3+41=53……于是就可以有這樣一個公式：設一正數(shù)為n,則n^2+n+41的值一定是一個質數(shù).這個式子一直到n=39時,都是成立的.但n=40時,其式子就不成立了,因為40^2+40+41=1681=41*41.
被稱為“17世紀最偉大的法國數(shù)學家”費爾馬,也研究過質數(shù)的性質.他發(fā)現(xiàn),設Fn=2^(2^n),則當n分別等于0、1、2、3、4時,Fn分別給出3、5、17、257、65537,都是質數(shù),由于F5太大（F5=4292967297）,他沒有再往下檢測就直接猜測：對于一切自然數(shù),Fn都是質數(shù).但是,就是在F5上出了問題!費爾馬死后67年,25歲的瑞士數(shù)學家歐拉證明：F5=4292967297=641*6700417,并非質數(shù),而是合數(shù).
更加有趣的是,以后的Fn值,數(shù)學家再也沒有找到哪個Fn值是質數(shù),全部都是合數(shù).目前由于平方開得較大,因而能夠證明的也很少.現(xiàn)在數(shù)學家們取得Fn的最大值為：n=1495.這可是個超級天文數(shù)字,其位數(shù)多達10^10584位,當然它盡管非常之大,但也不是個質數(shù).質數(shù)和費爾馬開了個大玩笑!
17世紀還有位法國數(shù)學家叫梅森,他曾經做過一個猜想：2^p-1代數(shù)式,當p是質數(shù)時,2^p-1是質數(shù).他驗算出了：當p=2、3、5、7、17、19時,所得代數(shù)式的值都是質數(shù),后來,歐拉證明p=31時,2^p-1是質數(shù).p＝2,3,5,7時,Mp都是素數(shù),但M11＝2047＝23×89不是素數(shù).
還剩下p=67、127、257三個梅森數(shù),由于太大,長期沒有人去驗證.梅森去世250年后,美國數(shù)學家科勒證明,2^67-1=193707721*761838257287,是一個合數(shù).這是第九個梅森數(shù).20世紀,人們先后證明：第10個梅森數(shù)是質數(shù),第11個梅森數(shù)是合數(shù).質數(shù)排列得這樣雜亂無章,也給人們尋找質數(shù)規(guī)律造成了困難.
還有一種質數(shù)叫費馬數(shù).形式是:Fn=2^(2^n)+1 是質數(shù)的猜想.
如F1=2^(2^1)+1=5
F2=2^(2^2)+1=17
F3=2^(2^3)+1=257
F4=2^(2^4)+1=65537
F5=2^(2^5)+1=4294967297
前4個是質數(shù),因為第5個數(shù)實在太大了,費馬認為是實數(shù),并提出(費馬沒給出證明)
后來歐拉算出F5=641*6700417.
目前只有n=0,1,2,3,4,Fn才是質數(shù).