樓主的對這部分的想法混淆得太厲害,真是剪不斷,理還亂.
我也不是老師也不知道給你從何說起,就一個問題一個問題的來吧.
第一題：
lim(x+sinx)/x（x→∞）
=lim(1+ sinx/x）
=1+lim sinx/x
=1+0=1
lim sinx/x（x→∞）= 0 這個是因為 分子 sinx有界 分母趨近∞.
本題為什么不能用洛必達
分子分母同時求導后得到 1+cosx （x→∞）
-1≤cosx≤1
0≤1+cosx≤2 這個是不存在了 但是不是無窮 因為它大于0小于2.
也就是說最后的1+cosx 即不收斂于一個數(shù),也不是無窮 所以洛氏法則失效.
樓主的“洛必達法則不是說最后的值可以是一個數(shù)也可以是無窮嗎”這句話是對的.
但是加上后面的括號（也就是不存在）就不對了.
無窮和不存在是不等價的.
第二題：
lim(3sinx+x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x)（x→0）
直接洛氏法則也行不通.
我用了在分子出出現(xiàn)了一個sin（1/x）
那結(jié)果就是 [3-sin（1/x）]/2樓主得到3+無窮/2
應該是以為：sin（1/x）為無窮吧.呵呵,不是的.
-1≤sin(這個里面不管是什么)≤1
那么同樣 [3-sin（1/x）]/2 即不收斂于一個數(shù),也不是無窮.洛氏法則失效.
那么這個題真么做呢?
和上面一樣 分成兩個極限求：
lim(3sinx+x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x)（x→0）
=lim3sinx/(1+cosx)ln(1+x)+ lim(x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x)（x→0）
=3/2 + lim(x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x)
=3/2 + 0
=3/2
lim3sinx/(1+cosx)ln(1+x)=3/2 這個極限你可以直接用 洛氏法則.其實用等價無窮系代換非常簡單.
后面一個極限：
lim(x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x)
=lim (xcos1/x)/(1+cosx)-------利用了等價無窮小代換： x代換ln(1+x)
=(0*cos1/x)/2
=0
樓主 主要混淆的地方 在于 無窮和不存在的區(qū)分.
這一個小問題影響了樓主對高數(shù)很多問題的混淆.