容斥原理
1．關(guān)鍵提示：
容斥原理關(guān)鍵內(nèi)容就是兩個公式,考生只要把這兩個公式靈活掌握就可全面應(yīng)對此類題型.另外在練習(xí)及真考的過程中,請借助圖例將更有助于解題.
2．核心公式：
（1）兩個集合的容斥關(guān)系公式：
A＋B＝A∪B＋A∩B
（2）三個集合的容斥關(guān)系公式：
A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C
例題1：2004年中央A類真題
某大學(xué)某班學(xué)生總數(shù)為32人,在第一次考試中有26人及格,在第二次考試中有24人及格,若兩次考試中,都沒有及格的有4人,那么兩次考試都及格的人數(shù)是( ).
A．22 B．18 C．28 D．26
解析：設(shè)A＝第一次考試中及格的人（26）,B＝第二次考試中及格的人（24）
顯然,A＋B＝26＋24＝50；A∪B＝32－4＝28,
則根據(jù)公式A∩B＝A＋B－A∪B＝50－28＝22
所以,答案為A.
例題2：2004年山東真題
某單位有青年員工85人,其中68人會騎自行車,62人會游泳,既不會騎車又不會游泳的有12人,則既會騎車又會游泳的有（ ）人
A.57 B.73 C.130 D.69
解析：設(shè)A＝會騎自行車的人（68）,B＝會游泳的人（62）
顯然,A＋B＝68＋62＝130；A∪B＝85－12＝73,
則根據(jù)公式A∩B＝A＋B－A∪B＝130－73＝57
所以,答案為A.
例題3：電視臺向100人調(diào)查前一天收看電視的情況,有62人看過2頻道,34人看過8頻道,11人兩個頻道都看過.兩個頻道都沒看過的有多少人?
解析：設(shè)A＝看過2頻道的人（62）,B＝看過8頻道的人（34）
顯然,A＋B＝62＋34＝96；A∩B＝兩個頻道都看過的人（11）
則根據(jù)公式A∪B＝A＋B－A∩B＝96－11＝85
所以,兩個頻道都沒有看過的人數(shù)＝100－85＝15
所以,答案為15.
例題4：2005年中央A類真題
對某單位的100名員工進(jìn)行調(diào)查,結(jié)果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看球賽和電影、戲劇.其中58人喜歡看球賽,38人喜歡看戲劇,52人喜歡看電影,既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人,既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16人,三種都喜歡看的有12人,則只喜歡看電影的有：
A．22人 B．28人 C．30人 D．36人
解析：設(shè)A＝喜歡看球賽的人（58）,B＝喜歡看戲劇的人（38）,C＝喜歡看電影的人（52）
A∩B＝既喜歡看球賽的人又喜歡看戲劇的人（18）
B∩C＝既喜歡看電影又喜歡看戲劇的人（16）
A∩B∩C＝三種都喜歡看的人（12）
A∪B∪C＝看球賽和電影、戲劇至少喜歡一種（100）
根據(jù)公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C
C∩A＝A＋B＋C－（A∪B∪C＋A∩B＋B∩C－A∩B∩C）
＝148－（100＋18＋16－12）＝26
所以,只喜歡看電影的人＝C－B∩C－C∩A＋A∩B∩C
＝52－16－26＋12
＝22