伯努利方程
設(shè)在右圖的細(xì)管中有理想流體在做定常流動,且流動方向從左向右,我們在管的a1處和a2處用橫截面截出一段流體,即a1處和a2處之間的流體,作為研究對象.設(shè)a1處的橫截面積為S1,流速為V1,高度為h1;a2處的橫截面積為S2,流速為V2,高度為h2.
思考下列問題:
①a1處左邊的流體對研究對象的壓力F1的大小及方向如何
②a2處右邊的液體對研究對象的壓力F2的大小及方向如何
③設(shè)經(jīng)過一段時間Δt后(Δt很小),這段流體的左端S1由a1移到b1,右端S2由a2移到b2,兩端移動的距離分別為ΔL1和ΔL2,則左端流入的流體體積和右端流出的液體體積各為多大 它們之間有什么關(guān)系 為什么
④求左右兩端的力對所選研究對象做的功
⑤研究對象機(jī)械能是否發(fā)生變化 為什么
⑥液體在流動過程中,外力要對它做功,結(jié)合功能關(guān)系,外力所做的功與流體的機(jī)械能變化間有什么關(guān)系
如圖所示,經(jīng)過很短的時間Δt,這段流體的左端S1由a1移到b1,右端S2由a2移到b2,兩端移動的距離為ΔL1和ΔL2,左端流入的流體體積為ΔV1=S1ΔL1,右端流出的體積為ΔV2=S2ΔL2.
因為理想流體是不可壓縮的,所以有
ΔV1=ΔV2=ΔV
作用于左端的力F1=p1S2對流體做的功為
W1=F1ΔL1 =p1·S1ΔL1=p1ΔV
作用于右端的力F2=p2S2,它對流體做負(fù)功(因為右邊對這段流體的作用力向左,而這段流體的位移向右),所做的功為
W2=-F2ΔL2=-p2S2ΔL2=-p2ΔV
兩側(cè)外力對所選研究液體所做的總功為
W=W1+W2=(p1-p2)ΔV
又因為我們研究的是理想流體的定常流動,流體的密度ρ和各點的流速V沒有改變,所以研究對象(初態(tài)是a1到a2之間的流體,末態(tài)是b1到b2之間的流體)的動能和重力勢能都沒有改變.這樣,機(jī)械能的改變就等于流出的那部分流體的機(jī)械能減去流入的那部分流體的機(jī)械能,即
E2-E1=ρ()ΔV+ρg(h2-h1)ΔV
又理想流體沒有粘滯性,流體在流動中機(jī)械能不會轉(zhuǎn)化為內(nèi)能
∴W=E2-E1
(p1-p2)ΔV=ρ(-))ΔV+ρg(h2-h1)ΔV
整理后得:整理后得:
又a1和a2是在流體中任取的,所以上式可表述為
上述兩式就是伯努利方程.
當(dāng)流體水平流動時,或者高度的影響不顯著時,伯努利方程可表達(dá)為
該式的含義是:在流體的流動中,壓強(qiáng)跟流速有關(guān),流速V大的地方壓強(qiáng)p小,流速V小的地方壓強(qiáng)p大.