證明X=2^(6n-3)+3^(2n-1)能被11整除
解一(最簡(jiǎn))：
8^(2n-1)==(-3)^(2n-1) mod 11
X==8^(2n-1)+3^(2n-1) 0 mod 11.（注：將上式移項(xiàng),即得）
如果不習(xí)慣同余記號(hào)和mod運(yùn)算,請(qǐng)看解二.
注：其中直接利用同余性質(zhì)
(a+km)^n==a^n mod m(注意,k可以是負(fù)數(shù)；可用二項(xiàng)式定理證明,請(qǐng)自測(cè),下面￥￥￥也會(huì)給出)
于是：
8^(2n-1)==(11-3)^(2n-1)==(-3)^(2n-1)==-3^(2n-1) mod 11
￥￥￥
證明：
(km+a)^n
=(km)^n+...+C(n,i)*(km)^(n-i)*a^i+...+n*(km)^(n-1)*a+a^n
=m*Y+a^n (注：當(dāng)n是未知指數(shù)時(shí),Y是n的多項(xiàng)式函數(shù)) （￥￥￥）
≡a^n mod m (為方便,≡也記作==)
解二：
(km+a)^n=m*Y+a^n (注：由二項(xiàng)式定理立即心算可得,要寫過(guò)程的話,見上面￥￥￥)
于是,
8^(2n-1)=(11-3)^(2n-1)=11*k+(-3)^(2n-1)
于是X==8^(2n-1)+3^(2n-1)=11*k,X|:11
注：X|:11表示X被11整除,或者說(shuō)11|X,11整除X.
事實(shí)上,￥￥￥是顯而易見的,你說(shuō)是嗎?建議常常應(yīng)用這個(gè)性質(zhì).
結(jié)合同余和模(mod)運(yùn)算,可以寫得極為簡(jiǎn)明,并且找到問(wèn)題的核心所在.利用同余思想,立即會(huì)想到將8聯(lián)系到-3,因?yàn)橄鄬?duì)于模(除數(shù)11),是等效的.于是立即得到解法一,心算就能解決.
如果只考慮到二項(xiàng)式定理,還會(huì)考慮將8,3如何拆解,因而解法二還可能一下子想不出.
這個(gè)性質(zhì)應(yīng)當(dāng)作為一個(gè)熟知的結(jié)論而直接應(yīng)用,于是立即得解.心算就能解決.
解三：分解因式
利用公式
x^(2n-1)+y^(2n-1)
=(x+y)(x^(2n-2)y-x^(2n-3)yy+...+(-1)^(i-1)*x^(2n-1-i)*y^i+...+.)
易知
X=8^(2n-1)+3^(2n-1)=(8+3)*...,于是11|X.(注：我也常記為X|:11)