先證明圓心O在邊AB上時,圓心角等于2倍的圓周角,然后通過與相同圓心角的關系可證圓周角相等.
證：一,如果圓周角ABC的邊AB經過原點O,
此時△AOC中,AO=CO--->角A=角OCA
圓心角OBC是△AOC的外角,故角BOC=2角OAC,
因此,角OAC=(1/2)角BOC.所以圓周角BAC=圓心角BOC的一半
二,如果圓心O在△ABC的內部,則直徑AD“分割”△ABC為△ABD和△ACD.前證,角BAD=(1/2)角BOD,角DAC=(1/2)角DOC
因此,角BAD+角DAC=(1/2)(角BOD+角DOC）
所以,角BAC=(1/2)角BOC
三,如果O在△ABC之外,則直徑AD“分割”△ABC為△ABD和△ACD,前證,角BAD=(1/2)角BOD,角DAC=(1/2)角DOC）
所以,角BAD-角CAD=(1/2)(角BOD-角COD)
故角BAC=(1/2)角BOC.證完