∵三角形中任意兩邊之和大于第三邊，
∴OA+OB＞AB，OA+OC＞CA，OB+OC＞BC，
∴2（OA+OB+OC）＞AB+BC+CA，即

1

2

（AB+BC+CA）＜OA+OB+OC；
∵三角形中任意兩邊之差小于第三邊，
∴CA-CO＜AO，BC-BO＜CO，AB-AO＜BO，
兩邊相加得，CA+AB+BC-（AO+BO+CO）＞AO+BO+CO，即AC+AB+BC＞2（AO+BO+CO）
∴AC+AB+BC＞AO+BO+CO
∴

1

2

（AB+BC+CA）＜OA+OB+OC＜AB+AC+BC．