C(u)=E(j*u*X)=1/√(2*π)∫{-∞,+∞}e^(j*u*x-x²/2)dx,直接積分較困難

由于d[e^(j*u*x-x²/2)]/dx=(j*u-x)*e^(j*u*x-x²/2),因此先考察下列積分：
1/√(2*π)∫{-∞,+∞}(j*u-x)*e^(j*u*x-x²/2)dx
=1/√(2*π)∫{-∞,+∞}e^(j*u*x-x²/2)d[e^(j*u*x-x²/2)]
=1/√(2*π)*e^(j*u*x-x²/2)|{-∞,+∞}
=1/√(2*π)*[cos(u*x)/e^(x²/2)+j*sin(u*x)/e^(x²/2)]| {-∞,+∞}
=0 ①
①式為零是因為有界函數(shù)與無窮小量的乘積仍為無窮小量

而1/√(2*π)∫{-∞,+∞}j*u*e^(j*u*x-x²/2)dx
= j*u*1/√(2*π)∫{-∞,+∞}e^(j*u*x-x²/2)dx
= j*u*C(u)②

注意到C(u)對u求導(dǎo)得
C’(u) =1/√(2*π)∫{-∞,+∞} j*x*e^(j*u*x-x²/2)dx,
故1/√(2*π)∫{-∞,+∞}x*e^(j*u*x-x²/2)dx
=(-j)*1/√(2*π)∫{-∞,+∞} j*x*e^(j*u*x-x²/2)dx
=(-j)*C’(u) ③

由①②③式得
j*u*C(u)+j*C’(u)=0,即
C’(u)+u*C(u)=0 ④
將微分方程④分離變量d[C(u)]/C(u)=-udu
兩邊積分lnC(u)=-1/2*u²+lnC
整理得C(u)=C*e^(-1/2*u²)
將初始條件C(0)=1代入上式得,C=1
故C(u)=e^(-1/2*u²)非常感謝您這么細(xì)心的推導(dǎo)，您是不是用LATEX的啊....大致看懂了，我再琢磨琢磨。再弱弱的問一句1/e^(x²/2)| {-∞,+∞}為什么是無窮小量....這個結(jié)果不是無法確定么沒有用LATEX,是文本輸入lim{x→+∞}1/e^(x²/2)=lim{x→-∞}1/e^(x²/2)=0 (分母無限大)