記:f(x)=[(x+a)^2](x-b)+x^2
知:f(x) 為三次函數(shù),在整個(gè)數(shù)軸上連續(xù).且至多有三個(gè)零點(diǎn).
f(0)= -(a^2)b 0,
f(b) = b^2 >0
x 趨向-∞ f(x)趨向-∞,
按次序排列:
-∞ -a,0 ,b ,
由介值定理,知:f(x) 在(-∞ ,-a),(-a,0) 內(nèi) ,分別至少有一個(gè)負(fù)零點(diǎn),
在(0 ,b) ,內(nèi),至少有一個(gè)正零點(diǎn).
由于f(x)至多有三個(gè)實(shí)零點(diǎn),即推出:
f(x) 在(-∞ ,-a),(-a,0) 內(nèi) ,分別有唯一一個(gè)負(fù)零點(diǎn),
在(0 ,b) ,內(nèi),有唯一一個(gè)正零點(diǎn).
即證明了:方程:[(x+a)^2](x-b)+x^2=0有一個(gè)正根,兩個(gè)負(fù)根