有形狀的數(shù)
最早把自然數(shù)和幾何圖形聯(lián)系在一起的,也是畢達(dá)哥拉斯.畢達(dá)哥拉斯把數(shù)描繪成沙灘上的小石子,又按小石子所能排列的形狀,把自然數(shù)與正三角形,正方形,正五邊形……等圖形聯(lián)系起來,將數(shù)分為三角數(shù),正方形數(shù),五角數(shù)……
畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn),當(dāng)小石子的數(shù)目是1,3,6,10等數(shù)時(shí),小石子都能擺成正三角形,他把這些數(shù)叫做三角形數(shù);當(dāng)小石子的數(shù)目是1,4,9,16等數(shù)時(shí),小石子都能擺成正方形,他把這些數(shù)叫做正方形數(shù);當(dāng)小石子的數(shù)目是1,5,12,22等數(shù)時(shí),小石子都能擺成正五邊形,他把這些數(shù)叫做五邊形數(shù)……
畢達(dá)哥拉斯還擺出了其他多邊形數(shù).有趣的是,他還進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)了各種"形數(shù)"之間的內(nèi)在聯(lián)系.比如,每個(gè)大于1的正方形數(shù)都可以表示成兩個(gè)相鄰的三角形數(shù)的和.
4=1+3,9=3+6,16=6+10,……
反過來,任意兩個(gè)相鄰的三角形數(shù)相加,必然是一個(gè)正方形數(shù),也就是平方數(shù).
這從下面的圖形中可以得到證實(shí).
畢達(dá)哥拉斯借助生動(dòng)的幾何直觀還發(fā)現(xiàn),第n個(gè)三角形數(shù)等于1+2+…人們就可以寫出很多很多的形數(shù)了.
不過,畢達(dá)哥拉斯并不因此而滿足.譬如三角形數(shù),需要一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)地相加,才能算出一個(gè)新的三角形數(shù).畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為這太麻煩了,于是著手去尋找一種簡捷的計(jì)算方法.經(jīng)過深入探索自然數(shù)的內(nèi)在規(guī)律,他又發(fā)現(xiàn),
這是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)公式,有了它,計(jì)算連續(xù)自然數(shù)的和可就方便多了.
畢達(dá)哥拉斯還擺成一種"馨折形"的數(shù).他先在正方形格子里放上石子,放的方法是最上面一行和最左邊一列都按1,2,3,……來放石子.其他空格中的石子數(shù),等于對(duì)應(yīng)的最上面一行和最左邊一列兩格石子數(shù)的積.然后把正方形格分割成若干個(gè)拐角形,這種拐角形就叫"馨折形".
他發(fā)現(xiàn),每一個(gè)馨折形中所有數(shù)的和一定是一個(gè)立方數(shù):
1=13,
2+4+2=8=23,
3+6+9+6+3=27=33.
公元前6世紀(jì),還沒有紙.用小石子來研究數(shù)的性質(zhì),又方便又直觀,這真是古希臘人的一種創(chuàng)造!也是認(rèn)識(shí)數(shù)的一種有趣方法.英語中的"計(jì)算"(calculation)一詞來源于拉丁字"calculus",是小石子的意思.