連續(xù)與可導(dǎo)
有這樣兩個定理或者推論
1> 函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的充分必要條件是 f'(x0)的左右極限存在且相等.
2> 如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),則函數(shù)在該點(diǎn)必然連續(xù)
現(xiàn)在假定有函數(shù)f(x)在其定義域上連續(xù)可導(dǎo).在定義域上加入可去間斷點(diǎn)x0,得到函數(shù)g(x).那這個g(x)是可導(dǎo)還是不可導(dǎo)呢?
例如 f(x)=sinx.g(x)=sinx,x不為0時.g(0)=1
兩句話都是出自 《高等數(shù)學(xué)》教材 同濟(jì)大學(xué)主編,高教出版社出版 第五版
第一個是 p82 關(guān)于單側(cè)導(dǎo)數(shù)的描述
第二個是 p84 關(guān)于函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系
關(guān)于我舉的例子,g(x)在x0時可導(dǎo),有g(shù)'(x)=cosx.同時,g'(0)的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)存在且相等,都是cos0.那么g(x)在x=0這一點(diǎn)可導(dǎo).所以g(x)在整個定義域上可導(dǎo).左右極限都是存在的