這個(gè)不等式是離散形式的Holder不等式
證明它要先借用另外一個(gè)不等式——Young不等式:
對(duì)正實(shí)數(shù)a,b,p,q,滿足1/p+1/q=1,恒有ab≤1/p*a^p+1/q*b^q,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a^p=b^q
構(gòu)造函數(shù)f(x)=e^x,f二階導(dǎo)數(shù)f''(x)=e^x>0,f(x)是下凸的
那么ab=e^(ln(ab))=e^(ln(a^p)/p+ln(b^q)/q)≤1/p*e^(ln(a^p))+1/q*e^(ln(b^q))=a^p/p+b^q/q
不等式得證
回到題目來(lái)
令xi=ai/(a1^p+a2^p+...+an^p)^(1/p),yi=bi/(b1^q+b2^q+...+bn^q)^(1/q)
,i=1,2,...n,只需證明:
x1y1+x2y2+...+xnyn≤1
而根據(jù)Young不等式
x1y1+x2y2+..+xnyn
≤1/p(x1^p+x2^p+...+xn^p)+1/q(y1^q+y2^q+...+yn^q)
=1/p+1/q
=1
這就完成了證明
順便說(shuō)明
等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)xi^p=yi^q,即
ai^p/(a1^p+a2^p+...+an^p)=bi^q/(b1^q+b2^q+...+bn^q)
即對(duì)任意i,j,i≠j,有
(ai/aj)^p=(bi/bj)^q
當(dāng)p=q=2時(shí)立即得到我們熟知的Cauchy不等式的等號(hào)成立條件