上面我們學(xué)習(xí)了查表和用計算器求平方根的方法．或許有的同學(xué)會問：不用平方根表和計算器,可不可以求出一個數(shù)的平方根呢?先一起來研究一下,怎樣求 ,這里1156是四位數(shù),所以它的算術(shù)平方根的整數(shù)部分是兩位數(shù),且易觀察出其中的十位數(shù)是3．于是問題的關(guān)鍵在于；怎樣求出它的個位數(shù)a?為此,我們從a所滿足的關(guān)系式來進(jìn)行分析．
根據(jù)兩數(shù)和的平方公式,可以得到
1156=（30+a）2＝302＋2×30a＋a2,
所以 1156－302＝2×30a＋a2,
即 256=（3×20+a）a,
這就是說,a是這樣一個正整數(shù),它與 3×20的和,再乘以它本身,等于256．
為便于求得a,可用下面的豎式來進(jìn)行計算：
根號上面的數(shù)3是平方根的十位數(shù)．將 256試除以20×3,得4．由于4與20×3的和64,與4的積等于256,4就是所求的個位數(shù)a．豎式中的余數(shù)是0,表示開方正好開盡．于是得到
1156＝342,
或
上述求平方根的方法,稱為筆算開平方法,用這個方法可以求出任何正數(shù)的算術(shù)平方根,它的計算步驟如下：
1．將被開方數(shù)的整數(shù)部分從個位起向左每隔兩位劃為一段,用撇號分開（豎式中的11’56）,分成幾段,表示所求平方根是幾位數(shù)；
2．根據(jù)左邊第一段里的數(shù),求得平方根的最高位上的數(shù)（豎式中的3）；
3．從第一段的數(shù)減去最高位上數(shù)的平方,在它們的差的右邊寫上第二段數(shù)組成第一個余數(shù)（豎式中的256）；
4．把求得的最高位數(shù)乘以20去試除第一個余數(shù),所得的最大整數(shù)作為試商（3×20除256,所得的最大整數(shù)是 4,即試商是4）；
5．用商的最高位數(shù)的20倍加上這個試商再乘以試商．如果所得的積小于或等于余數(shù),試商就是平方根的第二位數(shù)；如果所得的積大于余數(shù),就把試商減小再試（豎式中（20×3+4）×4=256,說明試商4就是平方根的第二位數(shù)）；
6．用同樣的方法,繼續(xù)求平方根的其他各位上的數(shù)．
如遇開不盡的情況,可根據(jù)所要求的精確度求出它的近似值．例如求 的近似值（精確到0.01）,可列出上面右邊的豎式,并根據(jù)這個豎式得到
筆算開平方運算較繁,在實際中直接應(yīng)用較少,但用這個方法可求出一個數(shù)的平方根的具有任意精確度的近似值．
我國古代數(shù)學(xué)的成就燦爛輝煌,早在公元前一世紀(jì)問世的我國經(jīng)典數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》里,就在世界數(shù)學(xué)史上第一次介紹了上述筆算開平方法．據(jù)史料記載,國外直到公元五世紀(jì)才有對于開平方法的介紹．這表明,古代對于開方的研究我國在世界上是遙遙領(lǐng)先的．