負(fù)數(shù)
負(fù)數(shù)的簡介
比零?。?0）的數(shù)．用負(fù)號（即減號）“－”標(biāo)記．
如-2, -5.33, -45/77, -π．
參見：非負(fù)數(shù)（Nonnegative）, 正數(shù)（Positive）, 零（Zero）,負(fù)號/減號（Minus Sign）．
例1、我們在小學(xué)學(xué)過自然數(shù)1,2,3,...;一個物體也沒有,就用0來表示,測量和計算有時不能得到整數(shù)的
結(jié)果,這就要用分?jǐn)?shù)和小數(shù)表示.同學(xué)們還見過其他種類的數(shù)嗎?
現(xiàn)在有兩個溫度計,溫度計液面指在0以上第6刻度,它表示的溫度是6℃,那么溫度計液面指在0以下第6
刻度,這時的溫度如何表示呢?
提示：
如果還用6℃來表示,那么就無法區(qū)分是零上6℃還是零下6℃,因此我們就引入一種新數(shù)——負(fù)數(shù).
參考答案：
記作-6℃.
說明：
我們?yōu)榱藚^(qū)分零上6℃與零下6℃這一組具有相反意義的量,因而引入了負(fù)數(shù)的概念.
例2、下面我們再看一個例子,從中國地形圖上可以看到,有一座世界最高峰——珠穆朗瑪峰,圖上標(biāo)著8844;
還有一個吐魯番盆地,圖上標(biāo)著-155.你能說出它們的高度各是多少嗎?
提示：
中國地形圖上可以看到,上述兩處都標(biāo)有它們的高度的數(shù),圖上標(biāo)的數(shù)表示的高度是相對海平面說的,
通常稱為海拔高度.8844表示珠穆朗瑪峰比海平面高8844米,-155表示吐魯番盆地比海平面低155米.
參考答案：
珠穆朗瑪峰的高度是海拔8844米;
吐魯番盆地的高度是海拔-155米.
說明：
這個例子也說明了我們?yōu)榱藢嶋H需要引入負(fù)數(shù),是為了區(qū)分海平面以上與海平面以下高度,它們也表示
具有相反意義的量.
例3、甲地海拔高度是35米 乙地海拔高度是15米,丙地海拔高度是-20米,請問哪個地方最高,哪個地方
最低?最高的地方比最低的地方高多少?
提示：
35米,15米,-20米分別表示什么意義?
參考答案：
甲地最高,丙地最低,最高的地方比最低的地方高55米.
說明：
35米表示高出海平面35米,15米表示高出海平面15米,-20米表示低于海平面20米,所以甲地最高,
丙地最低,且甲地比丙地高55米.
例4、我們已經(jīng)知道,具有相反意義的量可以用正,負(fù)數(shù)表示.例如：零上5℃和零下6℃可記為+5℃和
-6℃；高出海平面10米和低于海平面8米可記為+10米和-8米；收入200元和支出300元可記為
+200元和-300元；前進(jìn)30米和后退40米可記為+30米和-40米,請問上升7米和向東運(yùn)動9米可記為
+7米和-9米嗎?
提示：
上升和向東運(yùn)動是具有相反意義的量嗎?
參考答案：
不可以記為+7米和-9米.
說明：
具有相反意義的量必須滿足兩個條件：（1）它們必須是同一屬性的量；（2）它們的意義相反.上升
和下降；向東運(yùn)動和向西運(yùn)動才是相反意義的量,因為上升和向東運(yùn)動不是具有相反意義的量,所以不可
以記為+7米和-9米.
-π是超越數(shù),不是有理數(shù)
復(fù)數(shù)的由來
人們在生活中經(jīng)常會遇到各種相反意義的量.比如,在記帳時有余有虧;在計算糧倉存米時,有時要記進(jìn)糧食,有時要記出糧食.為了方便,人們就考慮了相反意義的數(shù)來表示.于是人們引入了正負(fù)數(shù)這個概念,把余錢進(jìn)糧食記為正,把虧錢、出糧食記為負(fù).可見正負(fù)數(shù)是生產(chǎn)實踐中產(chǎn)生的.
據(jù)史料記載,早在兩千多年前,我國就有了正負(fù)數(shù)的概念,掌握了正負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則.人們計算的時候用一些小竹棍擺出各種數(shù)字來進(jìn)行計算.比如,356擺成||| ,3056擺成等等.這些小竹棍叫做“算籌”算籌也可以用骨頭和象牙來制作.
我國三國時期的學(xué)者劉徽在建立負(fù)數(shù)的概念上有重大貢獻(xiàn).劉徽首先給出了正負(fù)數(shù)的定義,他說：“今兩算得失相反,要令正負(fù)以名之.”意思是說,在計算過程中遇到具有相反意義的量,要用正數(shù)和負(fù)數(shù)來區(qū)分它們.
劉徽第一次給出了正負(fù)區(qū)分正負(fù)數(shù)的方法.他說：“正算赤,負(fù)算黑；否則以邪正為異”意思是說,用紅色的小棍擺出的數(shù)表示正數(shù),用黑色的小棍擺出的數(shù)表示負(fù)數(shù)；也可以用斜擺的小棍表示負(fù)數(shù),用正擺的小棍表示正數(shù).
我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》（成書于公元一世紀(jì)）中,最早提出了正負(fù)數(shù)加減法的法則：“正負(fù)數(shù)曰：同名相除,異名相益,正無入負(fù)之,負(fù)無入正之；其異名相除,同名相益,正無入正之,負(fù)無入負(fù)之.”這里的“名”就是“號”,“除”就是“減”,“相益”、“相除”就是兩數(shù)的絕對值“相加”、“相減”,“無”就是“零”.
用現(xiàn)在的話說就是：“正負(fù)數(shù)的加減法則是：同符號兩數(shù)相減,等于其絕對值相減,異號兩數(shù)相減,等于其絕對值相加.零減正數(shù)得負(fù)數(shù),零減負(fù)數(shù)得正數(shù).異號兩數(shù)相加,等于其絕對值相減,同號兩數(shù)相加,等于其絕對值相加.零加正數(shù)等于正數(shù),零加負(fù)數(shù)等于負(fù)數(shù).”
這段關(guān)于正負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則的敘述是完全正確的,與現(xiàn)在的法則完全一致!負(fù)數(shù)的引入是我國數(shù)學(xué)家杰出的貢獻(xiàn)之一.
用不同顏色的數(shù)表示正負(fù)數(shù)的習(xí)慣,一直保留到現(xiàn)在.現(xiàn)在一般用紅色表示負(fù)數(shù),報紙上登載某國經(jīng)濟(jì)上出現(xiàn)赤字,表明支出大于收入,財政上虧了錢.
負(fù)數(shù)是正數(shù)的相反數(shù).在實際生活中,我們經(jīng)常用正數(shù)和負(fù)數(shù)來表示意義相反的兩個量.夏天武漢氣溫高達(dá)42°C,你會想到武漢的確象火爐,冬天哈爾濱氣溫-32°C一個負(fù)號讓你感到北方冬天的寒冷.
在現(xiàn)今的中小學(xué)教材中,負(fù)數(shù)的引入,是通過算術(shù)運(yùn)算的方法引入的：只需以一個較小的數(shù)減去一個較大的數(shù),便可以得到一個負(fù)數(shù).這種引入方法可以在某種特殊的問題情景中給出負(fù)數(shù)的直觀理解.而在古代數(shù)學(xué)中,負(fù)數(shù)常常是在代數(shù)方程的求解過程中產(chǎn)生的.對古代巴比倫的代數(shù)研究發(fā)現(xiàn),巴比倫人在解方程中沒有提出負(fù)數(shù)根的概念,即不用或未能發(fā)現(xiàn)負(fù)數(shù)根的概念.3世紀(jì)的希臘學(xué)者丟番圖的著作中,也只給出了方程的正根.然而,在中國的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中,已較早形成負(fù)數(shù)和相關(guān)的運(yùn)算法則.
除《九章算術(shù)》定義有關(guān)正負(fù)運(yùn)算方法外,東漢末年劉烘（公元206年）、宋代揚(yáng)輝（1261年）也論及了正負(fù)數(shù)加減法則,都與九章算術(shù)所說的完全一致.特別值得一提的是,元代朱世杰除了明確給出了正負(fù)數(shù)同號異號的加減法則外,還給出了關(guān)于正負(fù)數(shù)的乘除法則.他在算法啟蒙中,負(fù)數(shù)在國外得到認(rèn)識和被承認(rèn),較之中國要晚得多.在印度,數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多于公元628年才認(rèn)識負(fù)數(shù)可以是二次方程的根.而在歐洲14世紀(jì)最有成就的法國數(shù)學(xué)家丘凱把負(fù)數(shù)說成是荒謬的數(shù).直到十七世紀(jì)荷蘭人日拉爾（1629年）才首先認(rèn)識和使用負(fù)數(shù)解決幾何問題.
與中國古代數(shù)學(xué)家不同,西方數(shù)學(xué)家更多的是研究負(fù)數(shù)存在的合理性.16、17世紀(jì)歐洲大多數(shù)數(shù)學(xué)家不承認(rèn)負(fù)數(shù)是數(shù).帕斯卡認(rèn)為從0減去4是純粹的胡說.帕斯卡的朋友阿潤德提出一個有趣的說法來反對負(fù)數(shù),他說（-1）：1=1：（-1）,那么較小的數(shù)與較大的數(shù)的比怎么能等于較大的數(shù)與較小的數(shù)比呢?直到1712年,連萊布尼茲也承認(rèn)這種說法合理.英國數(shù)學(xué)家瓦里承認(rèn)負(fù)數(shù),同時認(rèn)為負(fù)數(shù)小于零而大于無窮大（1655年）.他對此解釋到：因為a＞0時,英國著名代數(shù)學(xué)家德·摩根 在1831年仍認(rèn)為負(fù)數(shù)是虛構(gòu)的.他用以下的例子說明這一點：“父親56歲,其子29歲.問何時父親年齡將是兒子的二倍?”他列方程56+x=2（29+x）,并解得x=-2.他稱此解是荒唐的.當(dāng)然,歐洲18世紀(jì)排斥負(fù)數(shù)的人已經(jīng)不多了.隨著19世紀(jì)整數(shù)理論基礎(chǔ)的建立,負(fù)數(shù)在邏輯上的合理性才真正建立.
負(fù)數(shù)的應(yīng)用
溫度：零下3攝氏度---- -3℃
樓層：地下1層---- -1層
海拔：吐魯番盆地最低點低于海平面
155米----海拔為-155米
負(fù)數(shù)
我國在《九章算術(shù)》《方程》章中就引入了負(fù)數(shù)（negative number）的概念和正負(fù)數(shù)加減法的運(yùn)算法則.在某些問題中,以賣出的數(shù)目為正（因是收入）,買入的數(shù)目為負(fù)（因是付款）；余錢為正,不足錢為負(fù).在關(guān)于糧谷計算中,則以加進(jìn)去的為正,減掉的為負(fù).“正”、“負(fù)”這一對術(shù)語從這時起一直沿用到現(xiàn)在.
在《方程》章中,引入的正負(fù)數(shù)加法法則稱為“正負(fù)術(shù)”.正負(fù)數(shù)的乘除法則出現(xiàn)得比較晚,在1299 年朱世杰編寫的《算學(xué)啟蒙》中,《明正負(fù)術(shù)》一項講了正負(fù)數(shù)加減法法則,一共八條,比《九章算術(shù)》更加明確.在“明乘除段”中有“同名相乘為正,異名相乘為負(fù)”之句,也就是(±a)×(±b)=+ab,(±a)×( b)=-ab,這樣的正負(fù)數(shù)乘法法則,是我國最早的記載.宋末李冶還創(chuàng)用在算籌上加斜劃表示負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)概念的引入是中國古代數(shù)學(xué)最杰出的創(chuàng)造之一.
印度人最早提出負(fù)數(shù)的是628年左右的婆羅摩笈多（約598-665）.他提出了負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,并用小點或小圈記在數(shù)字上表示負(fù)數(shù).在歐洲初步認(rèn)識提出負(fù)數(shù)概念,最早要算意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（1170-1250）.他在解決一個盈利問題時說∶我將證明這個問題不可能有解,除非承認(rèn)這個人可以負(fù)債.15世紀(jì)的舒開（1445?-1510?）和16世紀(jì)的史提非（1553）雖然他們都發(fā)現(xiàn)了負(fù)數(shù),但又都把負(fù)數(shù)說成是荒謬的數(shù),卡當(dāng)（1545）給出了方程的負(fù)根,但他把它說成是“假數(shù)”.韋達(dá)知道負(fù)數(shù)的存在,但他完全不要負(fù)數(shù).笛卡兒部分地接受了負(fù)數(shù),他把方程的負(fù)根叫假根,因它比“無”更小.
哈雷奧特（1560-1621）偶然地把負(fù)數(shù)單獨(dú)地寫在方程的一邊,并用“－”表示它們,但他并不接受負(fù)數(shù).邦別利（1526-1572）給出了負(fù)數(shù)的明確定義.史提文在方程里用了正、負(fù)系數(shù),并接受了負(fù)根.基拉德（1595-1629）把負(fù)數(shù)與正數(shù)等量齊觀、并用減號“-”表示負(fù)數(shù).總之在16、17世紀(jì),歐洲人雖然接觸了負(fù)數(shù),但對負(fù)數(shù)的接受的進(jìn)展是緩慢的.