令√x =t,那么
原積分
=∫1/(t+t^4) d(t^2)
=∫2/(1+t^3) dt
=2/3 * ∫ [1/(1+t) - (t-2)/(t^2-t+1)] dt
顯然∫ 1/(1+t) dt=ln|1+t| +C (C為常數(shù))
而
∫ (t-2)/(t^2-t+1) dt
= ∫ (t- 0.5)/(t^2-t+1) dt - ∫ 1.5 /(t^2-t+1) dt
其中
∫ (t- 0.5)/(t^2-t+1) dt
= ∫ 0.5/(t^2-t+1) d(t^2-t+1)
=0.5ln|t^2 -t+1| +C (C為常數(shù))
而
∫ 1.5 /(t^2-t+1) dt
=1.5 *∫ 1/ [(t-1/2)^2+ 3/4] dt
=∫ 2 / [4/3 *(t-1/2)^2+ 1] dt
=√3 *∫ 1 / [(2t/√3 -1/√3)^2+ 1] d(2t/√3 -1/√3)
=√3 * arctan(2t/√3 -1/√3) +C (C為常數(shù))
所以
原積分
=2/3 * [ln|1+t| - 0.5ln|t^2 -t+1| +√3 * arctan(2t/√3 -1/√3)] +C 代回√x =t
=2/3 * [ ln|1+√x| -0.5ln|x-√x+1| +√3 * arctan(2√x/√3 -1/√3)] +C (C為常數(shù))